动态规划练习三：换钱问题（动态规划概念理解与记忆搜索法概念理解对比）

题目描述

给定数组arr，数组中所有的值都为正数，且不为空不重复。数组中每个数代表一种货币的面值，每种面值的货币可以使用任意张，然后，给一个aim，代表要换钱的面值，请问，用数组中的面值换钱，总共有多少种方式？

暴力递归思路

递归的第一步，将问题划分为更小的子问题，比如，数组arr[1，5，10]这三种面值的货币，aim=1000。首先，可以先取出第一种面值。假如，第一种1元的有0张，那么问题就划分为arr=[5，10]，aim=1000；如果第一种1元的有1张，问题就划分为arr=[5，10]，aim=999。依此类推，直到第一种货币的面值一元有1000张时，也就是超过aim，那么，第一种的所有结果都例举出来了。
因此，从上面分析中抽象出递归函数。首先，递归函数需要记录arr，和目前是第几种货币面值，也就是数组的索引，其次，还需要记录aim，当aim为0时，就找到一种换钱方法。
递归的出口是，数组遍历完最后一个，此时aim恰好为0，说明找到一个换钱方法，不为零，就不是，当然，不对的情况包含aim大于和小于的情况。
递归方法，就是设定一个res记录当前符合的换钱方式，遇到出口就返回1或0，否则，就继续向下递归。
递归代码

    public static int process(int[] arr,int index,int aim){int res=0;if(index==arr.length){res = aim==0 ? 1:0;}else {for (int i = 0; i*arr[index]<=aim; i++) {res+=process(arr,index+1,aim-i*arr[index]);}}return res;}

记忆搜索法

暴力递归时间复杂度高的根本原因，就是存在大量的重复操作，而重复操作之所以大量发生，是因为在递归的过程中，很多重复计算的结果没有记录下来，才会导致重复计算。
因此，记忆搜索法其实也很简单，就是把每一步递归的结果放入一个map中，然后每次递归前，先检查map中有没有，如果已经有结果，直接取出来，就不需要重复计算了。

动态规划法

第一步，判断是否可行？本题中间递归结果是不依赖前面的路径的，因此可行。
第二步，画图，找出递归过程的变化量，index和aim，画图。
第三步，标记结果位置，此题的结果位置为index0，aim1000。
第四步，填入已知数据，已知数据为indexarr.length这一行，aim0的位置填返回值1，其他都是0。
第五步，根据已知结果，结合递归函数，我们已知了最后一行indexarr.length的结果，就可以根据递归函数，推出indexarr.length-1这一行的结果，然后依次填完表格，直到找到index0，aim1000位置的结果，就是返回的最终结果。

动态规划和记忆搜索对比

其实，动态规划可以理解为就是记忆搜索法。
记忆搜索法不关心到达某一个递归过程的路径，只是单纯的记录递归过程的每个结果，避免重复计算。
动态规划是通过表格来表示每个递归过程之间的顺序，每个过程依赖前面已知的结果，其实也是在记录前面的递归结果，避免重复计算，只不过是也同时保留了递归顺序之间的过程。
两者都是空间换时间的优化思想，区别在于，动态规划记录计算顺序，而记忆搜索法只是简单避免重复计算，不记录计算顺序。

因此总结一下，什么动态规划？
其本质就是利用申请的额外空间来记录每一个暴力递归的结果，下次要用的时候可以直接使用，并且记录每种递归状态之间的计算顺序，依次计算。