动态规划C++实现--换钱的方法数（二）（动态规划及其改进方法）

题目：换钱的方法数

给定数组 arr, arr中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，再给定一个整数aim代表要找的钱数，求换钱有多少种方法。

将原文的伪代码进行C++实现

程序员代码面试指南第四章递归和动态规划 点击打开链接

例1：arr = [5, 10, 25, 1] ,aim = 15， 6种方法

1) 3张5元； 2）1张10元+1张5元； 3）1张10元+5张1元； 4）10张1元+1张5元；5）2张5元+5张1元； 6）15张1元

注：暴力递归和记忆化搜索方法，见前文动态规划C++实现--换钱的方法数（一）（暴力递归和记忆化搜索）

总结：

暴力递归时间复杂度 O（aim^N）
记忆化搜索时间复杂度 O （N*aim^2）
动态规划时间复杂度 O （N*aim^2）
改进动态规划时间复杂度 O （N*aim）额外空间复杂度 O （N*aim）
压缩空间的动态规划时间复杂度 O （N*aim）额外空间复杂度 O （aim）

3、动态规划

动态规划方法，生成函数为 N、列数为 aim+1的二维矩阵dp。（时间复杂度O(N*aim^2)）

dp[i][j] 表示在使用 arr[0,1,..,i]货币的情况下，组成钱数为 j 的总方法数。

第一步：边界初始化

dp[..][0] 表示钱数为 0，不使用任何货币，所以第一列统一设定为1.

dp[0][..] 表示只使用 arr[0] 的情况下，组成的钱的方法数，所以在 dp[0][arr[0]*k] = 1 (0 <= arr[0] * k <= aim).

第二步：中间项的更新，即求dp[i][j]

举个例子说明更新规则：

(1) 用 0 张 arr[i] 货币，只使用 arr[0,..,i-1]货币，方法数为dp[i-1][j].

(1) 用 1 张 arr[i] 货币，只使用 arr[0,..,i-1]货币，方法数为dp[i-1][j-arr[i]].

.......

(1) 用 k 张 arr[i] 货币，只使用 arr[0,..,i-1]货币，方法数为dp[i-1][j - k*arr[i]]. (j - k*arr[i] >=0)

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j-arr[i]] + ....... + dp[i-1][j - k*arr[i]]

最后dp[N-1][aim即为方法总数。

C++源码如下：

// 换钱的方法数 <动态规划> <复杂度0(N*aim^2)>
// 空间换时间，按顺序进行输出
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int coins3(int arr[], int aim);int main(){int N, aim; cin >> N >> aim;int arr[N];for (int i = 0; i < N; i++){cin >> arr[i];}cout << coins3(arr, aim) <<endl;return 0;
}int coins3(int arr[], int aim) {int dp[sizeof(arr)][aim+1];memset(dp,0, sizeof(dp));for (int i = 0; i < sizeof(arr); i++){dp[i][0] = 1;}for (int j = 1; j * arr[0] <= aim; j++){dp[0][j*arr[0]] = 1;}int num;for (int i = 1; i < sizeof(arr); i++) {for (int j = 1; j <= aim; j++) {num = 0;for (int k = 0; j - k * arr[i] >= 0; k++) {num += dp[i - 1][j - k * arr[i]];}dp[i][j] = num;}}return dp[sizeof(arr) - 1][aim];
}

输入：

输出：

4、动态规划（改进时间复杂度O（N*aim））

动态规划方法中的第二步中进行动态更新的过程如下，思考是否存在重复计算的部分？

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j-arr[i]] + ....... + dp[i-1][j - k*arr[i]]

观察下面递推步骤：

dp[i][j-arr[i]] = dp[i-1][j-arr[i]] + dp[i-1][j- 2*arr[i]] + ....... + dp[i-1][j - k*arr[i]]

可以很容易得到动态规划的红色部分是等价的。那么就可以进行替换。

得到新的更新步骤：

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i][j -arr[i]]

C++源码如下：

// 换钱的方法数 <动态规划> <复杂度0(N*aim)>
// 空间换时间，按顺序进行输出
// dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-arr[i]];
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int coins4(int arr[], int aim);int main(){int N, aim; cin >> N >> aim;int arr[N];for (int i = 0; i < N; i++) {cin >> arr[i];}cout << coins4(arr, aim) <<endl;return 0;
}int coins4(int arr[], int aim){int dp[sizeof(arr)][aim + 1];memset(dp, 0, sizeof(dp));for (int i = 0; i < sizeof(arr); i++){dp[i][0] = 1;}for (int j = 1; j * arr[0] <= aim; j++){dp[0][j * arr[0]] = 1;}for (int i = 1; i < sizeof(arr); i++) {for (int j = 1; j <= aim; j++){dp[i][j] = dp[i - 1][j];dp[i][j] += (j - arr[i]) >= 0 ? dp[i][j - arr[i]] : 0;//      cout << i <<","<< j <<": "<< dp[i][j]<<endl;}}return dp[sizeof(arr) - 1][aim];
}

5、动态规划（空间压缩）

时间复杂度O（N*aim）,额外空间复杂度O(aim）

对于动态规划改进方法的二维矩阵进行改进为一维矩阵，减小空间。

C++代码如下

// 换钱的方法数 <动态规划> <复杂度0(N*aim)>
// 额外空间复杂度 o(aim)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int coins5(int arr[], int aim);int main(){int N, aim; cin >> N >> aim;int arr[N];for (int i = 0; i < N; i++) {cin >> arr[i];}cout << coins5(arr, aim) <<endl;return 0;
}int coins5(int arr[], int aim){int dp[aim + 1];memset(dp, 0, sizeof(dp));for (int j = 0; j * arr[0] <= aim; j++){dp[j * arr[0]] = 1;}for (int i = 1; i < sizeof(arr); i++) {for (int j = 1; j <= aim; j++){dp[j] += j - arr[i] >= 0 ? dp[j - arr[i]] : 0;//      cout << i <<","<< j <<": "<< dp[j]<<endl;}}return dp[aim];
}

以上代码没有考虑输出不符合规范的问题。如有要求，需要对于输入进行限制。

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