java 最少货币单元组合换钱_动态规划. 换钱的最少货币数和最多方法数
通过对换钱类题目的学习,我们将了解到
暴力递归及优化方法
记忆搜索(优化一)
动态规划的基本实现方法(优化二)
动态规划的空间优化(优化三)
1. 换钱的最少货币数,货币可重复使用
给定数组arr,arr中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币,每种货币都可以使用任意张,再给定一个整数aim代表要找的钱数,求组成aim的最少货币数。
例如
arr=[5, 2, 3], aim=20, 返回4
arr=[5, 2, 3], aim=0, 返回0
arr=[3, 5], aim=2, 返回-1
动态规划方法的关键是构造动态规划表dp。
动态规划的实质就是在计算过程中,根据动态规划表计算下一个目标值,并更新动态规划表
在本题中,构造这样二维动态规划表,dp[i][j],其中,i j的含义如下:
i: 代表可以使用的货币种类为 arr[0..i]
j: 代表需要兑换的面值数,其取值范围为[0..aim],因此实现时,二维数组的列数应该为aim + 1
构造过程:
构造边界值。边界值是更新规划表的起始值,也是很容易犯错的地方,需要谨慎设置起始边界值。
dp[0..N-1][0]:规划表的第一列值,表示当需要兑换0元时,需要的货币数,显然货币数为0,直接设置为0.
dp[0][0..aim]:规划表的第一行值,表示只使用arr[0]一种货币兑换[0..aim]时,需要的货币数,因此,只要tmp_aim可以被arr[0]整除,返回整除后的数,即为对应的值。在下面的实现中,我们使用了更为通用的方法来得到规划表的第一行的值,可以根据下面的算法,理解一下实现中的计算方法。
更新动态规划表
更新方向:逐行更新,每行从左到右更新。
更新值:对于dp[i][j],更新的依据有两个值,一个是“不使用当前种类的货币时,组成总数的j的最小方法,即dp[i-1][j]”,另外一个是“使用并且仅使用一张当前种类的货币时,组成总数的j的最小方法,即 dp[i][j-arr[i]] + 1”,取这两个值中的最小值即为dp[i][j]的值。
关于依据中的第二个值,可以通过公式推导得到。可以查看文末的参考资料详细了解。
实现
class Solution
{
public:
int ExchangeMoney(std::vector& arr, uint32_t aim);
};
int Solution::ExchangeMoney(std::vector& arr, uint32_t aim)
{
// fix: precheck
if (arr.size() == 0 || aim == 0)
{
return 0;
}
int arrSize = arr.size();
int dp[arrSize][aim + 1];
for (uint32_t lineIndex = 0; lineIndex < arrSize; ++lineIndex)
{
dp[lineIndex][0] = 0;
}
for (uint32_t rowIndex = 1; rowIndex < aim + 1; ++rowIndex)
{
// 动态初始化边界值的方法
if (int(rowIndex - arr[0]) >= 0 && dp[0][rowIndex - arr[0]] != UINT32_MAX)
{
dp[0][rowIndex] = dp[0][rowIndex - arr[0]] + 1;
}
else
{
dp[0][rowIndex] = UINT32_MAX;
}
}
for (uint32_t lineIndex = 1; lineIndex < arrSize; ++lineIndex)
{
for (uint32_t rowIndex = 1; rowIndex < aim + 1; ++rowIndex)
{
int subCurArrValue = rowIndex - arr[lineIndex];
uint32_t upValue = dp[lineIndex - 1][rowIndex];
uint32_t leftValue = UINT32_MAX;
if (subCurArrValue >= 0 && dp[lineIndex][subCurArrValue] != UINT32_MAX)
{
leftValue = dp[lineIndex][subCurArrValue] + 1;
}
dp[lineIndex][rowIndex] = leftValue < upValue ? leftValue : upValue;
}
}
return dp[arrSize - 1][aim] == UINT32_MAX ? -1 : dp[arrSize - 1][aim];
}
2. 动态规划的空间优化
上面的实现,需要的空间复杂度是O(N * aim),下面的方法,可以将空间复杂度优化到O(aim)。
优化方法:
生成一个一维动态规划数组dp[aim + 1]
构造初始值:参考上面的方法,初始值表示只使用arr[0]一种货币时,兑换[0..aim]的最少货币数。
更新动态规划表:更新方向,从左到右更新。对于dp[j],更新的依据有两个,一个是 dp[j](old),换算成二维数组,即为不使用arr[j]货币时的最少货币数,即为dp[line-1][j]。另外一个是dp[j-arr[j]] + 1,即为“使用并且仅使用一张当前种类的货币时的最少货币数”,换算成二维数组,即为dp[line][j-arr[j]] + 1.
实现
int Solution::ExchangeMoney(std::vector& arr, uint32_t aim)
{
if (arr.size() == 0 || aim == 0)
{
return 0;
}
int arrSize = arr.size();
int dp[aim + 1]; // updated by line
dp[0] = 0; // first element is always 0
for (uint32_t rowIndex = 1; rowIndex < aim + 1; ++rowIndex)
{
if (int(rowIndex - arr[0]) >= 0 && dp[rowIndex - arr[0]] != UINT32_MAX)
{
dp[rowIndex] = dp[rowIndex - arr[0]] + 1;
}
else
{
dp[rowIndex] = UINT32_MAX;
}
}
for (uint32_t lineIndex = 1; lineIndex < arrSize; ++lineIndex)
{
for (uint32_t rowIndex = 1; rowIndex < aim + 1; ++rowIndex)
{
int subCurArrValue = rowIndex - arr[lineIndex];
uint32_t upValue = dp[rowIndex];
uint32_t leftValue = UINT32_MAX;
if (subCurArrValue >= 0 && dp[subCurArrValue] != UINT32_MAX)
{
leftValue = dp[subCurArrValue] + 1;
}
dp[rowIndex] = leftValue < upValue ? leftValue : upValue;
}
}
return dp[aim] == UINT32_MAX ? -1 : dp[aim];
}
从上面的实现,我们可以看到,我们将二维动态规划表压缩成一维动态规划表,依据是:
对于表中的每个元素,我们只会在更新下一个值时,使用一次,之后便不再使用。
更新下一个值,依赖“向左跳一次”和“向上跳一位”,而这两个数可以在一维动态规划表中保存。如果依赖多个“向上跳”的值,则无法使用一维动态规划表实现空间优化。
3. 还钱的最少货币数,货币不可重复使用
给定数组arr,arr中所有的值都为正数。每个值仅代表一张钱的面值,再给定一个数aim代表要找的钱数,求组成aim的最少货币数。
例如
arr = [5, 2, 3], aim = 20,无法组成,返回-1
arr = [5, 2, 5, 3], aim = 10,返回2
arr = [5, 2 ,5 ,3], aim = 15,返回4
arr = [5, 2, 5, 3], aim = 0,返回0
构造二维动态规划表dp[i][j],i表示可以使用货币arr[0..i],j表示组成的货币总数。
构造过程
构造边界值
dp[0..N-1][0]:规划表的第一行值,表示当前需要兑换0元时需要的货币数,显然货币数为0,直接设置为0
dp[0][0..aim]:规划表的第一列,表示仅使用arr[0]一种货币兑换[0..aim]时,是否可以兑换,如果arr[0]就等于j,则dp[0][j] = 1,否则等于UINT32_MAX,表示无法兑换。
更新动态规划表
更新方向:逐行更新,每行从左到右更新。
更新值:对于dp[i][j],更新的依据有两个值,一个是“不适用当前面值的货币时,组成总数j的最少方法,即dp[i-1][j]“,另一个是”使用当前面值的货币时,组成总数j的最少方法,即dp[i-1][j-arr[j]] + 1“,取这两个值中的最小值即为dp[i][j]的值。
这里同样可以用一维动态规划表对空间优化到O(aim)。
实现的思路基本和上面两例一样。
4 换钱的方法数,可重复使用
给定数组arr,arr中所有的值都为正数,且不重复。每个值代表一种面值的货币,每种面值的货币可以使用任意张,再给定一个整数aim代表要找的钱数,求换钱有多少种方法。
例如
arr = [5, 10, 25, 1], aim = 0,返回1
arr = [5, 10, 25, 1], aim = 15,返回6
arr = [3, 5],aim = 2,返回0
暴力递归法
递归终止条件:aim == 0
循环条件:使用当前面值货币0..k张,其中 k * arr[curIndex] <= aim
递归:对每个面值的货币,返回组成余下aim的方法数
int Solution::ExchangeMoney(std::vector& arr, uint32_t aim)
{
if (aim == 0)
{
return 1;
}
if (arr.size() == 0)
{
return 0;
}
return process(arr, 0, aim);
}
int Solution::process(std::vector& arr, uint32_t index, uint32_t aim)
{
int ret = 0;
if (index == arr.size())
{
ret = 0 == aim ? 1 : 0;
}
else
{
for (uint32_t k = 0; k * arr[index] <= aim; ++k)
{
ret += process(arr, index + 1, aim - k * arr[index]);
}
}
return ret;
}
记忆搜索法
上面的暴力递归法,存在着大量的重复计算。
优化方法是将中间结果保存下来,在下一次计算的时候,查看表中是否已经有结果。
int Solution::ExchangeMoney(std::vector& arr, uint32_t aim)
{
if (aim == 0)
{
return 1;
}
if (arr.size() == 0)
{
return 0;
}
std::map<:pair>, uint32_t> resultMap;
return process(arr, 0, aim, resultMap);
}
int Solution::process(std::vector& arr, uint32_t index, uint32_t aim,
std::map<:pair uint32_t>, uint32_t>& resultMap)
{
int ret = 0;
if (index == arr.size())
{
ret = 0 == aim ? 1 : 0;
}
else
{
for (uint32_t k = 0; k * arr[index] <= aim; ++k)
{
uint32_t nextIndex = index + 1;
uint32_t nextAim = aim - k * arr[index];
std::map<:pair uint32_t>, uint32_t>::iterator it = resultMap.find(std::make_pair(nextIndex, nextAim));
if (it != resultMap.end())
{
ret += it->second;
}
else
{
ret += process(arr, nextIndex, nextAim, resultMap);
}
}
}
return ret;
}
动态规划
构造二维动态规划表dp[i][j]
构造边界值
dp[0][0..j],动态规划表第一行,表示只使用arr[0]一个种类的货币时,可以兑换货币总数j的方法数,无法兑换时,则设置为0。
dp[0..N-1][0],动态规划表第一列,表示兑换货币总数0的方法数,设置为1.
更新动态规划表
dp[i][j]的取值依据有两个,第一个是,"不使用当前面值的货币时,组成货币总数的方法数,dp[i-1][j]",第二个是,”分别使用1..k张当前面值的货币时,组成货币总数的方法数之和,由公式可以推导出,该值为dp[i][j-arr[i]]“,dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j - arr[i]]。
代码实现请参考上面的几例,稍加需改即可得出。
参考资料
《程序员代码面试指南:IT名企算法与数据结构题目与最优解》
java 最少货币单元组合换钱_动态规划. 换钱的最少货币数和最多方法数相关推荐
- java gui 监听组合键_【CSDN常见问题解答】Swing监听组合键 | 学步园
其实监听键盘事件和简单,键盘也就这3个事件keyTyped, keyReleased, keyPressed 下面我们就监听一个CTRL+C组合键好了. import java.awt.Color; ...
- java三位整数倒序相加_用单向链表实现两数倒序相加(java实现)
很久没做算法题了,准备重操旧业,于是刷了一波LeetCode,看到一个比较经典的链表算法题,分享出来. 题目 给定两个非空链表来表示两个非负整数.位数按照逆序方式存储,它们的每个节点只存储单个数字.将 ...
- sqlserver 分组合并列_夺冠!中国队国际奥数大赛再称雄,满分选手已保送清华姚班,“中国二队”并列第一...
晓查 栗子 发自 凹非寺 量子位 出品 | 公众号 QbitAI 经过16.17两日的角逐,在英国巴斯举办的第60届国际数学奥林匹克竞赛(IMO 2019)终于落下帷幕.中国队和美国队以227分并列第 ...
- java动态规划 硬币_动态规划-硬币问题
算法思想:动态规划 实际问题:硬币问题 编写语言:Java 问题描述 假设有 1 元,3 元,5 元的硬币若干(无限),现在需要凑出 n 元.问如何组合才能使硬币的数量最少? 关键特征 要推出问题的关 ...
- java字符串字符排列组合_如何在Java中查找字符串的所有排列
java字符串字符排列组合 In this tutorial, we will learn how to find the permutation of a String in a Java Prog ...
- java 实现组合_用Java实现排列、组合算法
组合个数的计算公式如下: 那么,计算排列或组合的数量,通过上面的公式就很容易就算出来了,其Java的实现如下: /** * 计算阶乘数,即n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1 * ...
- java中中国货币符号怎么打_用Java中的货币符号解析价格
Locale.GERMAN似乎没有货币符号. Locale.GERMANY将欧元符号作为其货币(不是字符串"EUR").请注意,下面的blam1和blam3导致解析异常,Curre ...
- 货币根据货币符号匹配格式_货币符号的条件格式
货币根据货币符号匹配格式 If you sell products in several countries, you might want to show the prices in differe ...
- 纹理对象纹理单元纹理目标_网页设计理论:纹理
纹理对象纹理单元纹理目标 Texture has become an indispensable element in web design. It is not only a trend but a ...
最新文章
- Linux —— 目录(文件夹)及文件相关处理指令
- Linux下使用ntpdate进行时间同步
- 根据函数名称调用函数
- 02-Http请求与响应全解
- linux ppp拨号 USB,linux下ppp拨号上网
- hdu 1251 字典树,指针版
- 【转】缺陷与出路—一个游戏开发者的反思
- 数据交互之封装request请求(微信小程序篇)
- 关于IIS新部署问题“HTTP500.21”错误代码解决办法
- html+表格+左侧表头,HTML多表头表格代码
- 9 ASCLL 码表
- Java菜鸟学习编写第一个java程序HelloWorld
- mysql 错误 1548_mysql报错1548-Cannot load from mysql.proc. The table is probably corrupted
- Java 往文件中写数据,新写入的数据总是覆盖原有数据
- java实验报告(实验三)
- 前端开发通过图片编码实现拍照身份证正反面上传功能
- 水平+垂直 居中的方法
- DC/DC电路——自举电容(boost)的作用
- 区块链零知识证明:STARKs, Part II
- discuz插件 inc.php,discuz的插件是怎么操作数据库的?