P2000 拯救世界(生成函数裸题+NTT高精)

传送门

题意

kkksc03 大神召唤方法：

金神石的块数必须是 6 的倍数。

木神石最多用 9 块。

水神石最多用 5 块。

火神石的块数必须是 4 的倍数。

土神石最多用 7 块。

lzn 大神召唤方法:

金神石的块数必须是 2 的倍数。

木神石最多用 1 块。

水神石的块数必须是 8 的倍数。

火神石的块数必须是 10 的倍数。

土神石最多用 3 块。

有多少种大阵对，前一个能召唤kkk，后一个能召唤lzn”

定理

11−x=1+x+x2+x3+x4.......\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4.......1−x1=1+x+x2+x3+x4.......

1−x21−x=(1−x2)+(x−x3)+(x2−x3)......\frac{1-x^2}{1-x}=(1-x^2)+(x-x^3)+(x^2-x^3)......1−x1−x2=(1−x2)+(x−x3)+(x2−x3)......

=(1+x+x2+x3.....)−(x2+x3.......)=1+x=(1+x+x^2+x^3.....)-(x^2+x^3.......)=1+x=(1+x+x2+x3.....)−(x2+x3.......)=1+x

对于前十个限制,按顺序他们的生成函数分别是

Ⅰ.1+x6+x12+x18+x24.......=11−x6Ⅰ.1+x^6+x^{12}+x^{18}+x^{24}.......=\frac{1}{1-x^6}Ⅰ.1+x6+x12+x18+x24.......=1−x61

Ⅱ.1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9=(1−x10)1−xⅡ.1+x^+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9=\frac{(1-x^{10})}{1-x}Ⅱ.1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9=1−x(1−x10)

Ⅲ.1+x+x2+x3+x4+x5=(1−x6)1−xⅢ.1+x^+x^2+x^3+x^4+x^5=\frac{(1-x^{6})}{1-x}Ⅲ.1+x+x2+x3+x4+x5=1−x(1−x6)

Ⅳ.1+x4+x8+x12+x16......=11−x4Ⅳ.1+x^4+x^8+x^{12}+x^{16}......=\frac{1}{1-x^4}Ⅳ.1+x4+x8+x12+x16......=1−x41

Ⅴ.1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7=(1−x8)1−xⅤ.1+x^+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7=\frac{(1-x^8)}{1-x}Ⅴ.1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7=1−x(1−x8)

Ⅵ.1+x2+x4+x6+x8......=11−x2Ⅵ.1+x^2+x^4+x^6+x^8......=\frac{1}{1-x^2}Ⅵ.1+x2+x4+x6+x8......=1−x21

Ⅶ.1+x=1−x21−xⅦ.1+x=\frac{1-x^2}{1-x}Ⅶ.1+x=1−x1−x2

Ⅷ.1+x8+x16+x24+x32.......=11−x8Ⅷ.1+x^8+x^{16}+x^{24}+x^{32}.......=\frac{1}{1-x^8}Ⅷ.1+x8+x16+x24+x32.......=1−x81

Ⅸ.1+x10+x20+x30+x40.......=11−x10Ⅸ.1+x^{10}+x^{20}+x^{30}+x^{40}.......=\frac{1}{1-x^{10}}Ⅸ.1+x10+x20+x30+x40.......=1−x101

Ⅹ.1+x+x2+x3=(1−x4)1−xⅩ.1+x+x^2+x^3=\frac{(1-x^4)}{1-x}Ⅹ.1+x+x2+x3=1−x(1−x4)

把上面十个式子都乘起来得到

(1−x10)(1−x6)(1−x8)(1−x2)(1−x4)(1−x6)(1−x)5(1−x4)(1−x2)(1−x8)(1−x10)\frac{(1-x^{10})(1-x^6)(1-x^8)(1-x^2)(1-x^4)}{(1-x^6)(1-x)^5(1-x^4)(1-x^2)(1-x^8)(1-x^{10})}(1−x6)(1−x)5(1−x4)(1−x2)(1−x8)(1−x10)(1−x10)(1−x6)(1−x8)(1−x2)(1−x4)

上下约分得到

1(1−x)5=(1−x)−5\frac{1}{(1-x)^5}=(1-x)^{-5}(1−x)51=(1−x)−5

使用广义二项式定理展开

(1−x)−5=∑i=0∞(5+i−1i)xi(1-x)^{-5}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}{5+i-1 \choose i}x^i(1−x)−5=i=0∑∞(i5+i−1)xi

那么第nnn项的系数不就是xnx^nxn的系数吗???

答案不就是(4+nn){4+n \choose n}(n4+n)吗

答案不就是(4+n4)=(4+n)(3+n)(2+n)(1+n)24{4+n \choose 4}=\frac{(4+n)(3+n)(2+n)(1+n)}{24}(44+n)=24(4+n)(3+n)(2+n)(1+n)

然后使用NTTNTTNTT加速高精度运算即可

注意每次NTTNTTNTT后都需要进位,不然每一位会大于模数,就是错的

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 4e6+10;
const int mod = 998244353,G=3,Gi=332748118;
int limit=1,n,l=0,r[maxn],a[maxn],b[maxn],c[maxn];
char s[maxn];
int quick(int x,int n)
{int ans = 1;for( ; n ; n>>=1, x=x*x%mod )if( n&1 )    ans = ans*x%mod;return ans;
}
void NTT(int *a,int type)
{for(int i=0;i<limit;i++)if( i<r[i] )  swap( a[i],a[r[i]] );for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){int wn = quick(type==1?G:Gi,(mod-1)/(mid<<1));for(int R=mid<<1,i=0;i<limit;i+=R)for(int k=0,w=1;k<mid;k++,w = w*wn%mod){int x = a[i+k], y = w*a[i+k+mid]%mod;a[i+k] = (x+y)%mod, a[i+k+mid] = (x-y+mod)%mod;}}
}
int nowa,nowb;
void mul(int *a,int *b,int lim)
{limit = 1, l = 0;while( limit<=lim ) limit<<=1,l++;for(int i=0;i<limit;i++)r[i] = ( r[i>>1]>>1 ) | ( (i&1)<<(l-1) );NTT(a,1); NTT(b,1);for(int i=0;i<limit;i++)  a[i] = a[i]*b[i]%mod;NTT(a,-1);int inv = quick(limit,mod-2);for(int i=0;i<=lim;i++)    a[i] = a[i]*inv%mod;for(int i=0;i<=nowa;i++){if( a[i]>=10 )a[i+1] += a[i]/10, a[i]%=10, nowa += (i==nowa);}for(int i=0;i<limit;i++)   b[i] = 0;
}
void add(int *c,int val,int *b)
{b[0] = b[0]+val; nowb = n-1;for(int i=0;i<=nowb;i++) {b[i] += c[i];if( b[i]>=10 )b[i+1] += b[i]/10, b[i] = b[i]%10, nowb += (i==nowb);}
}
signed main()
{scanf("%s",s);n = strlen( s );for(int i=0;i<n;i++)    c[i] = s[n-i-1]-'0';a[0] = 1;for(int i=1;i<=4;i++){add(c,i,b); nowa += nowb;mul(a,b,nowa);memset( b,0,sizeof b);}for(int i=0;i<=nowa;i++){if( a[i]>=10 )a[i+1] += a[i]/10, a[i]%=10, nowa += (i==nowa);}int ans = 0,flag=0;for(int i=nowa;i>=0;i--){a[i-1] += ( a[i]%24 )*10;a[i]/=24;if( a[i] || flag )  flag = 1,cout << a[i];}
}

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