Gamma 函数和 Beta 函数是最基本也是最重要的两个特殊函数，它们如同基石般奠定了整个特殊函数论大厦的基础。相信你在微积分和统计里，经常看到他们的身影，所以快来 get Gamma 函数和 Beta 函数的技能。

1 Gamma函数

1.1 介绍

伽马函数（Gamma 函数），即欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分，可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。
我们接触的Gamma函数一般是下面的形式：
Γ(x)=∫0∞tx−1e−tdt\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dtΓ(x)=∫0∞tx−1e−tdt

通过分部积分的方法，可以推导出这个函数具有如下的递归性质：

Γ(x+1)=xΓ(x)\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)Γ(x+1)=xΓ(x)

于是很容易证明，Γ(x)\Gamma(x)Γ(x) 函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质：
Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) = (n-1)!Γ(n)=(n−1)!

要了解更多的 Gamma 函数的历史，推荐阅读

Philip J. Davis，Leonhard Euler’s Integral: A Historical Profile of the Gamma Function

Jacques Dutka，The Early History of the Factorial Function

Detlef Gronnau，Why is the gamma function so as it is?

1.2 推导

在某一个特殊的时刻，欧拉发现阶乘 n!n!n! 可以用一个无穷乘积表示：
n!=[(21)n1n+1][(32)n2n+2][(43)n3n+3]⋯①n! = [(\frac{2}{1})^n \frac{1}{n+1}] [(\frac{3}{2})^n \frac{2}{n+2}] [(\frac{4}{3})^n \frac{3}{n+3}] \cdots \quad ①n!=[(12)nn+11][(23)nn+22][(34)nn+33]⋯①

如果有m项乘积：

当 m>>nm >> nm>>n 时，上式可继续计算：

当 m→∞m \to \inftym→∞ 时，无穷乘积的极限：

lim⁡n→∞(m+1)n1×2×3×⋯×m(n+1)(n+2)(n+3)⋯(n+m)⏟(1)=lim⁡n→∞n!∏k=1nm+1m+k⏟(2)=n!\lim_{n \to \infty}\underbrace{(m+1)^n \frac{1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times m}{(n+1)(n+2)(n+3)\cdots(n+m)}}_{(1)} = \lim_{n \to \infty} \underbrace{n! \prod_{k=1}^{n} \frac{m+1}{m+k}}_{(2)} = n!n→∞lim(1)(m+1)n(n+1)(n+2)(n+3)⋯(n+m)1×2×3×⋯×m=n→∞lim(2)n!k=1∏nm+km+1=n!

值得注意的是，n!n!n! 明显不等于(2)，(2)又是由(1)整理而来的，因此 n!n!n! 也不等于(1)，而是在 m→∞m \to \inftym→∞ 时 n!n!n! 等于(1)或(2)的极限。以 n=2n = 2n=2 为例，n!=2n! = 2n!=2 ，mmm 是2、50、100时，(1)的结果分别是1.5、1.9615384615384617、1.980392156862745，展开的越多，越接近于 n!n!n!。
有了这个无穷乘积，欧拉便把 n=12n = \frac{1}{2}n=21 代入①式，得到：

根号里面的东西是英国数学家沃利斯（John Wallis）在1665年写下的沃利斯公式：
21×23×43×45×65×67×87×89×109⋯=∏n=1∞2n2n−1⋅2n2n+1=π2\frac{2}{1} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{5} \times \frac{6}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{9} \times \frac{10}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty}\frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{\pi}{2} 12×32×34×54×56×76×78×98×910⋯=n=1∏∞2n−12n⋅2n+12n=2π

于是，欧拉把沃利斯公式折半：

23×43×45×65×67×87×89×109⋯=π4(12)!=π2\frac{2}{3} \times \frac{4}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{5} \times \frac{6}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{9} \times \frac{10}{9} \cdots = \frac{\pi}{4} \\ (\frac{1}{2})! = \frac{\sqrt \pi}{2} 32×34×54×56×76×78×98×910⋯=4π(21)!=2π

欧拉发现 (12)!(\frac{1}{2})!(21)! 的计算结果中居然有 π\piπ，有 π\piπ 的地方通常会和圆的积分相关。于是，欧拉开始尝试把 n!n!n! 表达为积分形式。虽然Wallis 的时代微积分还没有发明出来，Wallis是使用插值的方式做推导计算的，但是Wallis 公式的推导过程基本上就是在处理积分 ∫01x12(1−x)12dx\int_{0}^{1}x^{\frac{1}{2}}(1-x)^{\frac{1}{2}}dx∫01x21(1−x)21dx，受Wallis 的启发，欧拉开始考虑如下的一般形式的积分：
J(a,n)=∫01xa(1−x)ndxJ(a,n) = \int_{0}^{1}x^{a}(1-x)^{n}dxJ(a,n)=∫01xa(1−x)ndx

式子中，nnn 为正整数，aaa 为正实数。利用分部积分：

继续使用分部积分：

上面的所有递推合并到一起就得到了最终的结果：

现在阶乘变成了积分的形式。然而这个式子的前提是 nnn 是正整数，无法推广到分数，欧拉继续研究如何化简这个表达式。aaa 是一个任意实数，能否让aaa 消失？一个惯用的方法是取极端值，a>0a > 0a>0 的一个极端是无穷，看看让aaa 趋近于无穷时会得到什么结果。这里欧拉使用的技巧是让 aaa 等于两个实数的商：

等式两侧同时除以 (f+g)(f+2g)⋯(f+ng)(f+g)(f+2g) \cdots (f+ng)(f+g)(f+2g)⋯(f+ng)：
n!(f+g)(f+2g)⋯(f+ng)=f+(n+1)ggn+1∫01xfg(1−x)ndx④\frac{n!}{(f+g)(f+2g) \cdots (f+ng)} = \frac{f+(n+1)g}{g^{n+1}} \int_{0}^{1}x^{\frac{f}{g}}(1-x)^n dx \quad ④(f+g)(f+2g)⋯(f+ng)n!=gn+1f+(n+1)g∫01xgf(1−x)ndx④

当 f→1，g→0f \to 1，g \to 0f→1，g→0 时，左侧趋近于 n!n!n!，但是右侧出现了讨厌的0分母，此时为了简化计算：

将上式的结论代入④：

用求极限的方式去掉f和gf 和 gf和g：
lim⁡f→1，g→0n!(f+g)(f+2g)⋯(f+ng)=n!lim⁡f→1，g→0f+(n+1)g(f+g)n+1=1\lim_{f \to 1，g \to 0} \frac{n!}{(f+g)(f+2g) \cdots (f+ng)} = n! \\ \lim_{f \to 1，g \to 0} \frac{f+(n+1)g}{(f+g)^{n+1}} =1f→1，g→0lim(f+g)(f+2g)⋯(f+ng)n!=n!f→1，g→0lim(f+g)n+1f+(n+1)g=1

当 f→1，g→0时，h→0，(1−th)/hf \to 1，g \to 0 时，h \to 0，(1-t^h)/hf→1，g→0时，h→0，(1−th)/h的极限变成了 0/00/00/0 的形式，在洛必达法则的帮助下，0/0型和∞/∞0/0 型和 \infty/\infty0/0型和∞/∞ 型的极限也是可以求解的。令 u(h)=1−th，v(h)=hu(h) = 1-t^h，v(h) = hu(h)=1−th，v(h)=h，根据洛必达法则：
lim⁡h→0u(h)v(h)=lim⁡h→0u′(h)v′(h)=lim⁡h→0−lnt1=−lnt\lim_{h \to 0} \frac{u(h)}{v(h)} = \lim_{h \to 0} \frac{u^{'}(h)}{v^{'}(h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-lnt}{1} = -lnth→0limv(h)u(h)=h→0limv′(h)u′(h)=h→0lim1−lnt=−lnt

于是在对⑤的等式两侧求极限时，神奇的一幕出现了：
n!=∫01(−lnt)ndtn! = \int_{0}^{1}(-lnt)^ndtn!=∫01(−lnt)ndt

任意实数 aaa 已经消失了，n!n!n! 变成了一个简洁的积分形式。继续变换：

于是得到欧拉最早定义的伽玛函数，实际上就是阶乘扩展到实数范围：
Γ(x)=x!=∫0∞uxe−udu（x>0）\Gamma(x) = x! = \int_{0}^{\infty}u^xe^{-u}du（x>0）Γ(x)=x!=∫0∞uxe−udu（x>0）

但是欧拉后来修改了伽玛函数的定义，变成了：
Γ(x)=(x−1)!Γ(x)=∫01(−lnt)x−1dt⑥Γ(x)=∫0∞ux−1e−udu⑦\Gamma(x) = (x-1)! \quad\\ \Gamma(x) = \int_{0}^{1}(-lnt)^{x-1}dt \quad ⑥ \\ \Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}u^{x-1} e^{-u}du \quad ⑦ Γ(x)=(x−1)!Γ(x)=∫01(−lnt)x−1dt⑥Γ(x)=∫0∞ux−1e−udu⑦

这也是现在我们所说的伽玛函数，⑥和⑦是两种表达，⑦更为常见，从积分域可以看出 t和ut和ut和u 的取值范围。

看一下 Γ\GammaΓ 函数的曲线：

补充：

Gamma函数还有其他定义，这里只简单介绍，详细推导请阅读：Gamma函数的那些事儿——四种定义
Γ(x)=lim⁡n→∞nxn!x(x+1)(x+2)⋯(x+n−1)(x+n)Γ(x)=1x∏k=1∞(1+1k)x1+xk1Γ(x)=xeγx∏k=1∞(1+xk)e−xk（Weierstrass无穷乘积形式）\Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n^xn!}{x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)(x+n)} \\ \Gamma(x) = \frac{1}{x} \prod_{k=1}^{\infty}\frac{(1+\frac{1}{k})^x}{1+\frac{x}{k}} \\ \frac{1}{\Gamma(x)} = xe^{\gamma x} \prod_{k=1}^{\infty}(1+\frac{x}{k})e^{-\frac{x}{k}} （Weierstrass无穷乘积形式）Γ(x)=n→∞limx(x+1)(x+2)⋯(x+n−1)(x+n)nxn!Γ(x)=x1k=1∏∞1+kx(1+k1)xΓ(x)1=xeγxk=1∏∞(1+kx)e−kx（Weierstrass无穷乘积形式）

1.3 Gamma函数的性质

Gamma 函数在数学分析中不断被深入研究，在概率论中也是无处不在，很多统计分布都和这个函数相关。常用性质：

递推公式
Γ(x+1)=Γ(x)Γ(n+12)=π22n(2n)!n!Γ(x)Γ(1−x)=πsin(πa)Γ(x+12)=Γ(2x)Γ(12)Γ(x)22x−1\Gamma(x+1) = \Gamma(x) \\ \quad \\ \Gamma(n + \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt \pi}{2^{2n}} \frac{(2n)!}{n!} \\ \quad \\ \Gamma(x) \Gamma(1-x) = \frac{\pi}{sin(\pi a)} \\ \quad \\ \Gamma(x + \frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(2x) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(x)2^{2x-1}} Γ(x+1)=Γ(x)Γ(n+21)=22nπn!(2n)!Γ(x)Γ(1−x)=sin(πa)πΓ(x+21)=Γ(x)22x−1Γ(2x)Γ(21)

我们知道 0!=10! = 10!=1，Γ(1)\Gamma(1)Γ(1)对此进行解释：
0!=Γ(1)=∫0∞u1−1e−udu=∫0∞e−udu=−e−u∣0∞=−e−∞+1=10! = \Gamma(1) = \int_{0}^{\infty}u^{1-1}e^{-u}du = \int_{0}^{\infty}e^{-u}du = -e^{-u}|_{0}^{\infty} = -e^{-\infty} + 1 = 1 0!=Γ(1)=∫0∞u1−1e−udu=∫0∞e−udu=−e−u∣0∞=−e−∞+1=1

积分中常用的几个数值：

f(x)f(x)f(x)	∫0+∞f(x)dx\int_{0}^{+\infty}f(x)dx∫0+∞f(x)dx	备注
x−12e−xx^{-\frac{1}{2}}e^{-x}x−21e−x	π\sqrt \piπ	Γ(12)\Gamma(\frac{1}{2})Γ(21)
e−xe^{-x}e−x	111	Γ(1)\Gamma(1)Γ(1)
x12e−xx^{\frac{1}{2}}e^{-x}x21e−x	π2\frac{\sqrt \pi}{2}2π	Γ(32)\Gamma(\frac{3}{2})Γ(23)
xe−xxe^{-x}xe−x	111	Γ(2)\Gamma(2)Γ(2)
详细推导请参考：伽马函数常用积分数值

（1）欧拉常数 γ\gammaγ
γ=−dΓ(x)dx∣x=1=lim⁡n→∞(1+12+13+⋯+1n−ln(n))=lim⁡n→∞∑k=1n1k−lnn\gamma = - \frac{d\Gamma(x)}{dx} |_{x=1} = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} - ln (n)) \\ = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - ln nγ=−dxdΓ(x)∣x=1=n→∞lim(1+21+31+⋯+n1−ln(n))=n→∞limk=1∑nk1−lnn

（2）Digamma 函数
Ψ(x)=dlogΓ(x)dx=Γ′(x)Γ(x)=−γ+∫011−xz−11−xdx\Psi(x) = \frac{dlog \Gamma(x)}{dx} = \frac{\Gamma^{'}(x)}{\Gamma(x)} = -\gamma + \int_{0}^{1} \frac{1 -x ^{z-1}}{1-x}dxΨ(x)=dxdlogΓ(x)=Γ(x)Γ′(x)=−γ+∫011−x1−xz−1dx
这也是一个很重要的函数，在涉及求 Dirichlet 分布相关的参数的极大似然估计时，往往需要使用到这个函数。Digamma 函数具有如下漂亮的性质：

递推公式
Ψ(x+1)=Ψ(x)+1x\Psi(x+1) = \Psi(x) + \frac{1}{x}Ψ(x+1)=Ψ(x)+x1
反射公式
ψ(1−x)=ψ(x)+πcot⁡πx\psi(1-x)=\psi(x)+\pi\cot\pi x ψ(1−x)=ψ(x)+πcotπx
倍加公式
ψ(2x)=12ψ(x)+12ψ(x+12)+ln⁡2\psi(2x)=\frac{1}{2}\psi(x)+\frac{1}{2}\psi\left(x+\frac{1}{2}\right)+\ln2 ψ(2x)=21ψ(x)+21ψ(x+21)+ln2

函数 Ψ(x)\Psi(x)Ψ(x) 和欧拉常数 γ\gammaγ 以及 ζ\zetaζ 函数都有密切关系，令
Ψn(x)=dn+1logΓ(x)dxn+1\Psi_n(x) = \frac{d^{n+1}{log \Gamma(x)}}{dx^{n+1}}Ψn(x)=dxn+1dn+1logΓ(x)

则 Ψ0(x)=Ψ(x)\Psi_0(x) = \Psi(x)Ψ0(x)=Ψ(x)，可以证明：
Ψ(n)=−γ+∑k=1n−11k(n∈N)Ψ(x)=−γ−∑k=0∞(1x+k−1k+1)(x∈C)Ψ(1)=−γ，Ψ(2)=1−γΨ1(1)=ζ(2)=π26，Ψ2(1)==−2ζ(3)\Psi(n) = -\gamma + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} (n \in N)\\ \Psi(x) = -\gamma - \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{x+k} - \frac{1}{k+1}) (x \in C) \\ \Psi(1) = -\gamma，\Psi(2) = 1 - \gamma \\ \Psi_1(1) = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}，\Psi_2(1) = = -2 \zeta(3) Ψ(n)=−γ+k=1∑n−1k1(n∈N)Ψ(x)=−γ−k=0∑∞(x+k1−k+11)(x∈C)Ψ(1)=−γ，Ψ(2)=1−γΨ1(1)=ζ(2)=6π2，Ψ2(1)==−2ζ(3)

1.4 Gamma函数的应用

（1）利用伽马函数求导数
我们原来只能定义一阶、二阶等整数阶导数，有了 Gamma 函数我们可以把函数导数的定义延拓到实数集，从而可以计算 1/2 阶导数, 同样的积分作为导数的逆运算也可以有分数阶。我们先考虑一下 xnx^nxn 的各阶导数:

由于 k 阶导数可以用阶乘表达，于是我们用 Gamma 函数表达为：
Γ(n+1)Γ(n−k+1)xn−k\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)}x^{n-k}Γ(n−k+1)Γ(n+1)xn−k

于是基于上式，我们可以把导数的阶从整数延拓到实数集。例如，取 n=1,k=12n=1, k = \frac{1}{2}n=1,k=21 我们可以计算 xxx 的 12\frac{1}{2}21 阶导数为:
Γ(1+1)Γ(1−1/2+1)x1−1/2=2xπ\frac{\Gamma(1+1)}{\Gamma(1-1/2+1)}x^{1-1/2} = \frac{2 \sqrt x}{\sqrt \pi}Γ(1−1/2+1)Γ(1+1)x1−1/2=π2x
对于一般的函数 f(x)f(x)f(x) 通过 Taylor 级数展开可以表达为幂级数，于是借用 xnx^nxn 的分数阶导数，我们可以尝试定义出任意函数的分数阶导数。不过有点遗憾的是这种定义方法并非良定义的，不是对所有函数都适用，但是这个思想却是被数学家广泛采纳了，并由此发展了数学分析中的一个研究课题：Fractional Calculus，在这种微积分中，分数阶的导数和积分都具有良定义，而这都依赖于 Gamma 函数。

（2）利用利用伽马函数简化级数
当我们求不出一些级数，但是我们可以让它在不同的形式间转化，例如：
∑k=1∞1kk=1+122+133+144+155+⋯\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^k} = 1 + \frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^5} + \cdotsk=1∑∞kk1=1+221+331+441+551+⋯

根据 n!=Γ(n+1)n! = \Gamma(n+1)n!=Γ(n+1) 对级数进行如下构造：

∑k=1∞1kk=∑k=1∞Γ(k)(k−1)!kk=∑k=1∞1(k−1)!kk∫0∞xk−1e−xdx=∑k=1∞1(k−1)!∫0∞(xk)k−1e−xdxk\sum_{k=1}^\infty{1\over k^k}=\sum_{k=1}^\infty{\Gamma(k)\over(k-1)!k^k}=\sum_{k=1}^\infty{1\over(k-1)!k^k}\int_0^\infty x^{k-1}e^{-x}\mathrm{d}x=\sum_{k=1}^\infty{1\over(k-1)!}\int_0^\infty\left(x\over k\right)^{k-1}e^{-x}{\mathrm{d}x\over k}k=1∑∞kk1=k=1∑∞(k−1)!kkΓ(k)=k=1∑∞(k−1)!kk1∫0∞xk−1e−xdx=k=1∑∞(k−1)!1∫0∞(kx)k−1e−xkdx

令 t=xkt = \frac{x}{k}t=kx，则 dt=dxkdt = \frac{dx}{k}dt=kdx，于是得到变换后的级数表达式：

∑k=1∞1kk=∑k=1∞1(k−1)!∫0∞tk−1e−ktdt\sum_{k=1}^\infty{1\over k^k}=\sum_{k=1}^\infty{1\over(k-1)!}\int_0^\infty t^{k-1}e^{-kt}\mathrm{dt}k=1∑∞kk1=k=1∑∞(k−1)!1∫0∞tk−1e−ktdt

再用 u=e−t⇒t=−ln⁡(u)⇒dt=−duuu=e^{-t}\Rightarrow t=-\ln(u)\Rightarrow\mathrm{dt}=-{\mathrm{d}u\over u}u=e−t⇒t=−ln(u)⇒dt=−udu 进行换元，得到：

∑k=1∞1kk=∑k=1∞1(k−1)!∫01(−ln⁡(u))k−1ukduu=∫01∑k=1∞(−uln⁡(u))k−1(k−1)!du\sum_{k=1}^\infty{1\over k^k}=\sum_{k=1}^\infty{1\over(k-1)!}\int_0^1(-\ln(u))^{k-1}u^k\mathrm{du\over u}=\int_0^1\sum_{k=1}^\infty{(-u\ln(u))^{k-1}\over(k-1)!}\mathrm{d}uk=1∑∞kk1=k=1∑∞(k−1)!1∫01(−ln(u))k−1ukudu=∫01k=1∑∞(k−1)!(−uln(u))k−1du

其中最后一项的求和号与积分号互换位置是通过控制收敛定理（Dominated convergence theorem）得到的。最后我们根据指数函数的麦克劳林展开 ex=∑n=0∞xkn!e^x = \sum_{n =0}^{\infty}\frac{x^k}{n!}ex=∑n=0∞n!xk，将积分继续简化，得到：

∑k=1∞1kk=∫01e−uln⁡(u)du=∫01u−udu\sum_{k=1}^\infty{1\over k^k}=\int_0^1 e^{-u\ln(u)}\mathrm{d}u=\int_0^1u^{-u}\mathrm{d}u k=1∑∞kk1=∫01e−uln(u)du=∫01u−udu

最终通过补 Gamma 函数将一个级数转化为了一个简短的定积分。

（3）欧拉余元公式（Euler’s reflection formula）
Γ(x)Γ(1−x)=x−1∏k=1∞(1−x2k2)−1Γ(x)Γ(1−x)=πsin(πx)\Gamma(x)\Gamma(1-x) = x^{-1} \prod_{k=1}^{\infty}(1 - \frac{x^2}{k^2})^{-1}\\ \Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{sin(\pi x)}Γ(x)Γ(1−x)=x−1k=1∏∞(1−k2x2)−1Γ(x)Γ(1−x)=sin(πx)π

（4）用Gamma函数美化 ζ(s)\zeta(s)ζ(s)
黎曼函数的定义是：ζ(s)=∑k=1∞1ks\zeta(s) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}ζ(s)=k=1∑∞ks1
将 ζ(s)\zeta(s)ζ(s) 和 Γ(s)\Gamma(s)Γ(s) 相乘可以得到：
ζ(s)Γ(s)=∫0∞ts−1e−t1−e−tdt\zeta(s) \Gamma(s) = \int_{0}^{\infty}\frac{t^{s-1} e^{-t}}{1- e^{-t}}dtζ(s)Γ(s)=∫0∞1−e−tts−1e−tdt

（5）斯特林公式

Gamma 函数作为阶乘的推广，它也有和 Stirling 公式类似的一个结论：
Γ(x+1)≈2πe−xxx+12\Gamma(x+1) \approx \sqrt{2 \pi}e^{-x}x^{x+\frac{1}{2}}Γ(x+1)≈2πe−xxx+21

2 Beta函数

2.1 介绍

贝塔函数具有很好的性质，以及实用的递推公式，另外，Gamma 函数和 Beta 函数之间存在好的关系。

2.2 推导

欧拉在伽玛函数的推导中实际上引入了两类积分形式：
　J(a,n)=∫01xa(1−x)ndx（a>0，n>0）S(x)=∫0∞uxe−udu（x>0）J(a, n) = \int_{0}^{1}x^a(1-x)^ndx（a > 0，n>0）\\ 　S(x) = \int_{0}^{\infty}u^xe^{-u}du （x>0）J(a,n)=∫01xa(1−x)ndx（a>0，n>0）　S(x)=∫0∞uxe−udu（x>0）
后来把这两个积分的参数做了-1的偏移，改为：
B(α,β)=∫01xα−1(1−x)β−1dx（α>0，β>0）Γ(x)=∫0∞ux−1e−udu（x>0）B(\alpha, \beta) = \int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx （\alpha>0，\beta >0）\\ \Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}u^{x-1}e^{-u}du （x>0） B(α,β)=∫01xα−1(1−x)β−1dx（α>0，β>0）Γ(x)=∫0∞ux−1e−udu（x>0）

由上面的推导可以得到 B(α,β)B(\alpha, \beta)B(α,β)的表达式，现在称为贝塔函数或贝塔积分。

当 α<1\alpha < 1α<1 时，是以 x=0x = 0x=0 为瑕点的无界函数反常积分；当 β<1\beta < 1β<1 时，是以 x=1x = 1x=1 为瑕点的无界函数反常积分，应用柯西判别法可证得到 α>0，β>0\alpha > 0，\beta > 0α>0，β>0 时，这两个无界函数反常积分都收敛，所以贝塔函数的定义域为 α>0，β>0\alpha > 0，\beta > 0α>0，β>0。

下面推导伽马函数与贝塔函数之间存在的关系：
这里需要用到一个新的概念——卷积(Convolution)和拉普拉斯变换，对于卷积的物理意义，请参考：如何通俗易懂地解释卷积，由卷积定理可知：
L{(f∗g)(t)}=L{f(t)}⋅L{g(t)}\mathcal{L} \{(f \ast g)(t)\} = \mathcal{L} \{f(t)\} \cdot \mathcal{L}\{g(t)\}L{(f∗g)(t)}=L{f(t)}⋅L{g(t)}

接下来研究一下幂函数拉普拉斯变换的性质（其中标注的地方进行了换元：τ=st⟹dτ=sdt\tau = st \implies d \tau = sdtτ=st⟹dτ=sdt）:
L{ta}=∫0∞tae−stdt=1sa+1∫0∞(st)ae−(st)(sdt)=1sa+1∫0∞τ(a+1)−1e−τdτ(∗)=Γ(a+1)sa+1\mathcal{L} \{t^a\} = \int_{0}^{\infty}t^a e^{-st}dt \\ = \frac{1}{s^{a+1}} \int_{0}^{\infty}(st)^ae^{-(st)}(sdt) \\ = \frac{1}{s^{a+1}} \int_{0}^{\infty}\tau^{(a+1)-1}e^{-\tau} d \tau \quad (\ast) \\ = \frac{\Gamma(a+1)}{s^{a+1}} L{ta}=∫0∞tae−stdt=sa+11∫0∞(st)ae−(st)(sdt)=sa+11∫0∞τ(a+1)−1e−τdτ(∗)=sa+1Γ(a+1)

由上面定义的Beta函数 B(α,β)=∫01xα−1(1−x)β−1dxB(\alpha, \beta) = \int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dxB(α,β)=∫01xα−1(1−x)β−1dx，这个表达式看起来像两个幂函数的卷积，所以我们可以写出它的卷积表达式：
∫0txα−1(t−x)β−1dx=tα−1∗tβ−1\int_{0}^{t}x^{\alpha-1}(t-x)^{\beta-1}dx = t^{\alpha-1} \ast t^{\beta-1}∫0txα−1(t−x)β−1dx=tα−1∗tβ−1

对该卷积进行拉普拉斯变换，可以得到：
L{tα−1∗tβ−1}=L{tα−1}⋅L{tβ−1}=Γ(α)Γ(β)sα+β=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)Γ(α+β−1+1)s(α+β−1)+1=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)L{tx+y−1}\mathcal{L} \{t^{\alpha-1} \ast t^{\beta-1}\} = \mathcal{L} \{t^{\alpha-1}\} \cdot \mathcal{L} \{t^{\beta-1}\} = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{s^{\alpha + \beta}} \\ = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma({\alpha + \beta}}) \frac{\Gamma(\alpha+ \beta-1 +1)}{s^{(\alpha + \beta-1) +1}} = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma({\alpha + \beta}}) \mathcal{L}\{ t^{x+y-1}\} L{tα−1∗tβ−1}=L{tα−1}⋅L{tβ−1}=sα+βΓ(α)Γ(β)=Γ(α+βΓ(α)Γ(β))s(α+β−1)+1Γ(α+β−1+1)=Γ(α+βΓ(α)Γ(β))L{tx+y−1}

其中Beta函数正好是 t=1t=1t=1 的情况，最后得到了用Gamma函数“美化”后的Beta函数表达式：

B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)B(α,1−α)=Γ(α)Γ(1−α)B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)} \\ B(\alpha, 1-\alpha) = \Gamma(\alpha)\Gamma(1- \alpha) B(α,β)=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)B(α,1−α)=Γ(α)Γ(1−α)

2.3 性质

对称性
B(α,β)=B(β,α)B(\alpha, \beta) = B(\beta, \alpha)B(α,β)=B(β,α)

参考

Beta 函数和 Gamma 函数有什么用：https://www.zhihu.com/question/31407058/answer/51863214
神奇的 Gamma 函数：https://cosx.org/2013/01/lda-math-gamma-function
伽马函数：https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/12168500.html
伽马函数：https://blog.csdn.net/qq_43141726/article/details/104943994
Gamma函数的应用：https://zhuanlan.zhihu.com/p/114595109
The gamma function：https://core.ac.uk/download/pdf/22874824.pdf
The digamma function：http://emmy.uprrp.edu/lmedina/papers/part10/Part10.pdf
The beta function：http://scientia.mat.utfsm.cl/archivos/vol16/ar2.pdf

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