大学生数学竞赛，不是数学建模，分为数学组和非数学组，我是非数学组。

全国初赛只考高数，全国总决赛考高数和线性代数。当年我是我们学校唯一一个进入全国总决赛的，非数学组就我一个，数学组全军覆没。

下面贴一下我当年的笔记和习题：

一，知识点

1，达布定理

2，达布定理的推论

3，施笃兹定理（Stolz）

4，导数公式

5，泰勒展开公式

6，柯西不等式

7，积分中值定理

二，极限题

1，施笃兹定理

2，其他极限题

三，罗尔定理、中值定理、达布定理

1，罗尔定理

2，微分中植定理

3，柯西中值定理

4，积分中值定理

5，达布定理

四，积分

1，定积分

2，二重积分

3，积分上限函数

五，微分方程

1，普通微分方程

2，特殊微分方程

六，导数相关

七，易错题

八，难题

九，解题技巧

1，逐项求导法（生成函数法）

2，交换求和顺序法

3，特殊的极坐标用法

4，定义法

5，其他特殊方法

十，反常规题

十一，其他题目

一，知识点

1，达布定理

若f在[a,b]上可导， $f_+^{'}(a)\neq f_-^{'}(b)$ ，则对 $f_+^{'}(a)$ 、 $f_-^{'}(b)$ 之间的任意数k，都有 $\exists \varepsilon \in (a,b), \, f^{'}(\varepsilon)=k$

2，达布定理的推论

若f在区间I上满足导数不为0恒成立，则f在I上严格单调

3，施笃兹定理（Stolz）

若数列{bi}递增无上界， $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}$ 存在或者为正负无穷

则 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}$

4，导数公式

$(\sin x)^{(n)}=\sin \left(x+n \cdot \frac{\pi}{2}\right) \: \: \: \: \: \: (\cos x)^{(n)}=\cos \left(x+n \cdot \frac{\pi}{2}\right)$

5，泰勒展开公式

$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x 3}{3 !}+\cdots$

$\sin x=x-\frac{x^{2}}{3 !}+\frac{x^{3}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !} +\cdots\\ \cos x=1-\frac{x^{3}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !}+\cdots$

$\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots\\ \ln (1-x)=-\left(x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots\right)$

6，柯西不等式

设f(x), g(x)在区间[a,b]上连续, 则 $\left(\int_{a}^{b} f^{2}(x) d x\right)\left(\int_{a}^{b} g^{2}(x) d x\right) \geqslant\left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x\right)^{2}$

7，积分中值定理

设f(x)在区间[a,b]上可连续, g(x)在区间[a,b]上可积且不变号，则

$\exists \varepsilon \in[a, b], \int _a^b f(x) g(x) d x=f(\varepsilon) \int _a^b g(x)dx$

二，极限题

1，施笃兹定理

（1） $X_{1} \in(0,1), \quad X_{n+1}=X_{n}\left(1-X_{n}\right) \quad prove \lim _{n \rightarrow \infty} n X_{n}=1$
证明: $if \: 0<X_{n}<1, \, then\: \: 0<X_{n+1}=X_{n}\left(1-X_{n}\right)<1$

$\therefore \forall{n}, \,0<X_{n}<1, \quad and \left\{X_{n}\right\}$ 递减
$\therefore \lim _{n \rightarrow \infty} X_{n}=c$

$\therefore c=c(1-c) ,so\: c=0$
$as \: \frac{1}{X_{n+1}}=\frac{1}{X_{n}}+\frac{1}{1-X_{n}}$
$\therefore \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n X_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{X_{n+1}}-\frac1{X_n}}{n+1-n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\frac{1}{1-X_{n}}=1$
$\therefore\lim_{n \rightarrow \infty}n X_{n}=1$

（2） $a_{0}=0,\, a_{1}=1+\sin (-1), \quad a_{n}=1+\sin \left(a_{n-1}-1\right), \quad solve\quad _{n \rightarrow \infty}^{\lim } \frac{1}{n} \quad \sum_{k=1}^{n} a_{k}$

解: $let\: b_{n}=a_{n}-1\: then\: b_{n}=\sin b_{n-1}$
$\therefore\left|b_{n}\right|=\left|\sin b_{n-1}\right| \leq\left|b_{n-1}\right|\\ \therefore \quad \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=c\\ \therefore c=\sin c \: so\: c=0$
$\therefore \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=1$
$\therefore \quad _{n \rightarrow \infty}^{\lim } \frac{1}{n} \quad \sum_{k=1}^{n} a_{k}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{n+1-n}=1$

2，其他极限题

（1） $x_n=sin\,x_{n-1}$ ，证明 $n \to \infty$ 时， $x_n\sim \sqrt\frac{3}{n}$

（2） ${ b }_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{C_{n}^{k}} { \quad solve\quad }_{n \rightarrow \infty}^{l i m} b_{n}$

解: $b_{n}=\frac{\sum_{k=0}^{n} k !(n-k)!}{n!}$
$\therefore(n+2) b_{n}=\frac{\sum_{k=0}^{n} k !(n-k) !(n+1-k+k+1)}{n !}\\ =\frac{\sum_{k=0}^{n} k !(n+1-k) !+\sum_{k=0}^{n} (k+1) !(n-k) !}{n !}\\ =\frac{\sum_{k=0}^{n} k !(n+1-k) !+\sum_{k=0}^{n+1} k !(n+1-k) !-(n+1) !}{n !}\\ =\frac{2 \sum_{k=0}^{n+1} k !(n+1-k) !-2(n+1) !}{n !}\\ =2(n+1) b_{n+1}-2(n+1)$

$\therefore \: b_{n+1}=\frac{(n+2) b_{n}}{2(n+1)}+1$

$if\: 2<b_{n}<2+\frac{6}{n}, \quad n>2$

$then\: b_{n+1}<\frac{n+2}{2(n+1)}\left(2+\frac{6}{n}\right)+1=2+\frac{1}{n+1}+\frac{3(n+2)}{n(n+1)} \\ \quad \leq 2+\frac{1}{n+1}+\frac{5}{n+1}=2+\frac{6}{n+1} \\ b_{n+1}>\frac{n+2}{n+1}+1>2 \\ then\: 2<b_{n+1}<\frac{6}{n+1}$

$as \: 2<b_{3}=\frac{8}{3}<4 \\ \therefore 2<b_{n}<2+\frac{6}{n} (n>2) \\ \therefore \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=2$

（3） $a_{1}=\sqrt{\frac{1}{2}} \,,\,a_{n}=\sqrt{\frac{1+a_{n-1}}{2}} \,,\,solve\: \: \lim _{n \rightarrow \infty} a_{1} a_{2} \cdots a_{n}$
证明: $a_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi}{4},\, a_{n-1}=2 a_{n}^{2}-1, \: like\: \cos 2 \theta=2 \cos^2 \theta-1$
$if\, a_{n-1}=\cos \frac{\pi}{2^{n}} ,\: then\: a_{n}=\cos \frac{\pi}{2^{n+1}}$
$\therefore \forall{n}, a_{n}=\cos \frac{\pi}{2^{n+1}}\\ \therefore a_{1} a_{2} \cdots a_{n}=\cos \frac{\pi}{2^{2}} \cos \frac{\pi}{2^{3}} \cdots \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n} \sin \frac{\pi}{2^{n+1}}}\\ \therefore \lim _{n \rightarrow \infty} a_{1} a_{2} \cdots a_{n}=\frac{2}{\pi}$

（4） $a_{1}>0, b_{1}>0, c_{1}>0, a_{1}+b_{1}+c_{1}=1,$ $a_{n+1}=a_{n}^{2}+2 b_{n} c_{n}, b_{n+1}=b_{n}^{2}+2 a_{n} c_{n}, c_{n+1}=c_{n}^{2}+2 a_{n} b_{n}, \quad$ 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 存在并求它
解: $a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}=\left(a_{n}+b_{n}+c_{n}\right)^{2}=1$

方法1 ( 我的方法)
$a_{n+1}{ }^{2}+b_{n+1}{ }^{2}+c_{n+1}{ }^{2}=\sum a_{n}{ }^{4}+4 a_{n} b_{n} c_{n} \sum a_{n}+4 \sum a_{n}{ }^{2} b_{n}{ }^{2}\\ =\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}\right)^{2}+2\left(\sum a_{n}^{2} b_{n}^{2}+2 a_{n} b_{n} c_{n} \sum a_{n}\right)\\ =\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2}\right)^{2}+2\left(a_{n} b_{n}+b_{n} c_{n}+c_{n} a_{n}\right)^{2}$
$let\: S_{n}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2} { \: then\: } \frac{1}{3} \leq S_{n}<a_{n}+b_{n}+c_{n}=1\\ \therefore S_{n+1}=S_{n}^{2}+2\left(\frac{1-S_{n}}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2} S_{n}^{2}-S_{n}+\frac{1}{2}=S_{n}+\frac{1}{2}\left(S_{n}-1\right)\left(3 S_{n}-1\right)<S_{n}$

$\therefore \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$ 存在, 设为c $\left(\frac{1}{3} \leq c<1\right)$

$\text { then } c=\frac{3}{2} c^{2}-c+\frac{1}{2} \text { \: so } c=\frac{1}{3}\\ \therefore \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2}=\frac{1}{3}\\$

由于柯西不等式， $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\frac{1}{3}$
方法 2 (书上的方法)
${ (1)let } M_{n}=\max \left\{a_{n}, b_{n}, c_{n}\right\}, m_{n}=\min \left\{a_{n}, b_{n}, c_{n}\right\}\\ \text { if } a_{n} \geq b_{n} \geq c_{n}, then\: M_{n}=a_{n}, \\ \quad m_{n}=c_{n} a_{n+1}=a_{n}^{2}+2 b_{n} c_{n}<a_{n}^{2}+a_{n} b_{n}+a_{n} c_{n}=a_{n}=M_{n}\\ b_{n+1}=b_{n}^{2}+2 a_{n} c_{n}<a_{n}^{2}+a_{n} b_{n}+a_{n} c_{n}=a_{n}=M_{n}\\ c_{n+1}=c_{n}^{2}+2 a_{n} c_{n}<a_{n} c_{n}+a_{n} b_{n}+a_{n}^{2}=a_{n}=M_{n}\\ \therefore M_{n+1}=\max \left\{a_{n+1}, b_{n+1}, c_{n+1}\right\}<M_{n}\\$
同理， $m_{n+1}>m_{n}$
(2) $M_{n+1}-m_{n+1} \leq\left(M_{n}-m_{n}\right)^{2}$ (证明和上面差不多, 略)
$\therefore \lim _{n \rightarrow \infty} M_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} m_{n}\\ \text { so } \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\frac{1}{3}$

（5） $a_1=1,a_n=n(a_{n+1}+1)$ ，求 $\lim _{n \to \infty}\coprod _{k=1}^n(1+\frac{1}{a_k})$

（6）求 $\lim_{n\to\infty }n\,sin(2\pi en!)$

（7）求证 $\lim_{n\rightarrow \infty }(1+n+\frac{n^2}{2!}+...+\frac{n^n}{n!})e^{-n}=1/2$

（8）求 $\lim_{x\to\infty}\frac{tan(tanx)-sin(sinx)}{tanx-sinx}$

（9）f(x)在[a,b]上连续且非负，最大值为M，求证： $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\int _a^b(f(x))^ndx}=M$

三，罗尔定理、中值定理、达布定理

1，罗尔定理

（1）f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0, f(1)=0，f(1/2)=1，证明 $\exists \varepsilon \in(0,1),\,f'(\varepsilon )=1$

（2）f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0, f(1)=0，f(1/2)=1

证明： $\forall \lambda,\exists\xi \in(0,1),\,f'(\xi)-\lambda(f(\xi)-\xi)=1$

（3）fk可导，f(a)=f(b)=0，证明 $\exists\eta \in(a,b),f(\eta)+f'(\eta)=0$

（4）证明：若n次实系数多项式P(x)的n个根都是实数，则它的各阶导数P'(x)、P''(x)、... $P^{(n-1)}(x)$ 都只有实根

（5）f(x)和g(x)在[a,b]上二阶可导，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0， $\forall x\in(a,b),\,g(x)\neq 0,\,g''(x)\neq 0$

证明： $\exists \xi \in(a,b),\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f''(\xi)}{g''(\xi)}$

2，微分中植定理

（1）f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0, f(1)=1，证明：

① $\exists \alpha\in (0,1),\, f(\alpha )=1-\alpha$ ② $\exists \varepsilon ,\eta \in(0,1),\,f'(\varepsilon )f'(\eta )=1$

（2）已知f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0, f(1)=1/3，证明： $\exists \varepsilon \in(0,1/2),\eta\in(1/2,1),\,f'(\varepsilon )+f'(\eta )=\varepsilon ^2+\eta ^2$

（3）f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=0, f(1)=1, $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3>0,\,\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$ ，证明：存在3个不同的数 $x_1,x_2,x_3,\,\frac{\lambda_1}{f'(x_1)}+\frac{\lambda_2}{f'(x_2)}+\frac{\lambda_3}{f'(x_3)}=1$

3，柯西中值定理

（1）f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f'(x)≠0，证明 $\exists \varepsilon ,\eta \in(a,b),\,\frac{f'(\varepsilon )}{f'(\eta )}=\frac{e^b-e^a}{b-a}e^{-\eta }$

4，积分中值定理

（1）f(x)在[a,b]上有连续的导数，证明

$\lim_{n\to\infty}n\left ( \int_a^bf(x)dx-\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^nf(a+\frac{k(b-a)}{n}) \right )=\frac{b-a}{2}(f(a)-f(b))$

5，达布定理

（1）f(x)在[0,1]上可导， $f(1)=2\int _0^{\frac{1}{2}}xf(x)dx$ ，证明 $\exists \theta \in[0,1],f'(\theta )=-\frac{f(\theta )}{\theta }$

（2）f(x)二次连续可微， $\forall x,|f(x)|\leq 1,f^2(0)+(f'(0))^2=4$ ，证明： $\exists x_0,f(x_0)+f''(x_0)=0$

（3）设f(x)在 $[0,+\infty)$ 上可导， $0\leq f(x)\leq \frac {x}{1+x^2}$ ，证明 $\exists\varepsilon >0,\,f'(\varepsilon )=\frac{1-\varepsilon ^2}{(1+\varepsilon ^2)^2}$

四，积分

1，定积分

（1）求 $\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n+1})$

（2）求 $\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^{n^2}\frac{n}{n^2+j^2}$

（3）p>0，求 $\lim_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+...+n^p}{n^{p+1}}$

2，二重积分

（1） $f(x)=\int_x^{\sqrt x}\frac{sin\,t}{t}dt$ ，求 $I=\int_0^1f(x)dx$

（2） $f(x)=\int_0^{x}\frac{sin\,t}{\pi-t}dt$ ，求 $I=\int_0^\pi f(x)dx$

3，积分上限函数

（1）f(x)在[0,1]上可导，0<=f'(x)<=1, f(0)=0, 证明 $(\int_0^1f(x)dx)^2\geq\int_0^1f^3(x)dx$

（2）f(x)在[a,b]上连续且严格递增，证明 $(a,b)\int_a^bf(x)dx<2\int_a^bxf(x)dx$

（3）f(x)在 $(0,+\infty)$ 内连续， $f(1)=\frac{5}{2}, \,\forall x,t>0,\int_1^{tx}f(u)du=t\int_1^{x}f(u)du+x\int_1^{t}f(u)du$ ，求f(x)

（4）f(x)在 $[0,\frac{\pi}{4}]$ 上可导且单调， $\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt=\int_0^xt\frac{cost-sint}{cost+sint}dt$ ，其中 $f^{-1}$ 是f的反函数，求f(x)

（5）f(x)连续， $\int_0^xf(2x-t)tdt=\frac{1}{2}arctan(x^2),\,f(1)=1$ ，求 $\int_1^2f(x)dx$

（6）设函数f(x)在[a.b]上有连续导数，f(a)=0，证明 $\int_a^bf^2(x)dx\leq\frac{(b-a)^2}{2}\int_a^b(f'(x))^2dx$

五，微分方程

1，普通微分方程

（1） $\forall u,v,\,\frac{f(u)-f(v)}{u-v}=\alpha f'(u)+\beta f'(v)$ ，其中常数 $\alpha ,\beta >0,\,\alpha +\beta =1$ ，求f(x)

（2）f(x)二次可微，f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x)，∀x, g(x)>=0，证明|f(x)|有界

2，特殊微分方程

（1）求解 $y=(y')^2-xy'+\frac{x^2}{2}$

（2） $f''(x)+f'(x)g(x)-f(x)=0$ ，g(x)为任意给定函数，证明：若f(a)=f(b)=0，则f(x)在[a,b]恒为0

六，导数相关

（1）求 y=arctan x 在 x=0 处的 n 阶导数

解: $\left(1+x^{2}\right) y'=1$
由莱布伦茨公式, $n(n-1) y^{(n-1)}+2n x y^{(n)}+\left(1+x^{2}\right) y^{(n+1)}=0$
so 在 x=0 处, $y^{(n+1)}=-n(n-1) y^{(n-1)}$
so 当 n 为偶数时, $y^{(n)}{ }_{(0)}=0$
当 n 为奇数时, $y^{(n)}{ }_{(0)}=(-1)^{\frac{n-1}{2}} \cdot(n-1) !$

（2）f(x)在[0,2]上二阶可导，∀x∈[0,2]，|f(x)|<=1, |f''(x)|<=1, 证明∀x，|f'(x)|<=2

（3）f(x)在点 $x_0$ 可导， $a_n<x_0<b_n,\,\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=x_0$ ，证明： $\lim_{n\to\infty}\frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n}=f'(x_0)$

（4）设f(x,y)在 $D:x^2+y^2\leq R^2$ 上连续， $x\frac{\partial f}{\partial x}+ky\frac{\partial f}{\partial y}=0$ ，其中k是正整数，证明：f为常数

（5）u=f(z)，z由方程z=x+yφ(z)确定，φ和f任意次可微，证明： $\frac{\partial ^n u}{\partial y^n}=\frac{\partial ^{n-1}}{\partial x^{n-1}}\left ( \varphi ^n(z)\frac{\partial u}{\partial x}\right )$

（6）设f(x,y)有一阶连续偏导数，且f(0,1)=f(1,0)

证明：在圆x^2+y^2=1上存在2个不同的点满足方程 $y\frac{\partial f}{\partial x}=x\frac{\partial f}{\partial y}$

（7）设f(x)在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶连续导数， $|f''+2xf'+(x^2+1)f|\leq 1$ ，证明 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$

（8）f(x)是在 $(-\infty,+\infty)$ 上导数连续的有界函数，|f(x)-f'(x)|<=1，证明：|f(x)|<=1

七，易错题

（1）求a,b，使 $\lim_{x\to 0 }\left ( \frac{a}{x^2}+\frac{1}{x^4}+\frac{b}{x^5}\int _0^xe^{-t^2}dt \right )$ 存在

（2）F(0)>0, F'(0)=c, 求 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{F(1-cos\, x)}{tan(x^2)}$

（3）∀ x>0,y>0 都有f(xy)=xf(y)+yf(x), f'(1)=4, 求f(x)

（4）设 $f(x)=\left\{\begin{matrix} x+\pi ,\, -\pi \leq x<0\\ x-\pi ,\, 0 \leq x<\pi\, \, \, \, \, \end{matrix}\right.$ , 则f(x)的以2π为周期的Fourier级数在[-π，π]上的和函数为

八，难题

1，设f(x)在[a,b]上具有连续导数，证明：

$\lim_{n\rightarrow \infty }n\left ( \int _a^bf(x)dx-\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^nf(a+k(b-a)/n) \right )=\frac{b-a}{2}(f(a)-f(b))$

2，设f(x)在[a,b]上具有二阶导数，证明 $\exists\xi\in[a,b],\,\int_a^bf(x)dx=(b-a)f(\frac{a+b}{2})+\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)$

3，f(x)周期为π，g(x)周期为1，f(x)、g(x)连续， $\lim_{x\to\infty }f(x)-g(x)=0$ ，证明f(x)=g(x)

4，求 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^n x\,sin\,nx\,dx$

5，设f(x)在[0,1]上可微，f(0)=0,f(1)=1， $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ 为n个正数，证明：存在(0,1)内n个不等的数 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_n,\,\sum_{i=1}^n\frac{\lambda_i}{f'(\varepsilon_i)}=\sum_{i=1}^n\lambda_i$

6，设f(x)在[0,1]上连续可微，证明 $|f(x)|\leq \int_0^1(|f(x)|+|f'(x)|)dx$

7，设f(x)在[a,b]上连续，证明 $\lim_{n\to\infty}\int_a^bf(x)sin \,nx \,dx=0$

8，设 $f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0,\,n\geq 2$ ，其中 $a_k=0,1\leq k\leq n-1$ ，当i不为k时， $a_i\neq 0$

且f(x)有n个不同的实根，证明 $a_{k-1}a_{k+1}<0$

九，解题技巧

1，逐项求导法（生成函数法）

（1） $a_n=\int_{-1}^1\frac{x^{2n}}{1+e^x}dx$ ，求 $\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n$

（2）求解y''-2xy'-4y=0, y(0)=0,y'(0)=1

2，交换求和顺序法

（1）求 $\sum_{n>0}\frac{1}{(n+1)(n+2)}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})$

（2）求 $\sum _{m,n>0,m\neq n}\frac{1}{mn|m-n|}$

（3）求 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})$

（4）黎曼zeta函数 $\zeta(k)=1+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{3^k}+...$ ，证明 $\sum_{k\geq 2}(\zeta(k)-1)=1$

3，特殊的极坐标用法

（1）f(x,y)可微， $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=0$ ，证明：f为常数

（2）f(x,y)可微， $\frac{1}{x}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial y$ ，证明：f在极坐标中是关于r的函数

4，定义法

（1） $a_n>0,\,\lim_{n\to\infty}(\frac{1+a_{n+1}}{a_n})^n=A$ ，证明A>=e

（2）设f(x)在 $[0,+\infty)$ 内可微，且 $\lim_{n\to\infty}(f(x)+f'(x))=0$ ，证明 $\lim_{n\to\infty}f(x)=0$

（3）证明 $\lim_{n\to\infty}\int_0^{2\pi}f(x)|sin\,nx|dx=\frac{2}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)dx$ ，其中f(x)连续

（4）f(x)、g(x)在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且周期为1，求证 $\lim_{n\to\infty}\int_0^1f(x)g(nx)dx=\int_0^1f(x)dx\int_0^1g(x)dx$

5，其他特殊方法

（1） $x=y(x-y)^2$ ，求 $\int\frac{dx}{x-3y}$

（2）1<f(x)<3，证明 $\int_0^1f(x)dx\int_0^1\frac{1}{f(x)}dx<\frac{4}{3}$

（3）求 $I=\int_0^\pi\frac{q-cosx}{1-2qcosx+q^2}dx$

（4）f(u)连续， $k=\sqrt{a^2+b^2+c^2}>0,\Omega:x^2+y^2+z^2\leq1,\,I=\iiint_\Omega f(ax+by+cz)dxdydz$ ，证明 $I=\pi\int_{-1}^1(1-u^2)f(ku)du$

（5）求 $\int_0^\pi ln(1-2acosx+a^2)dx$

十，反常规题

1， $f(x)=\int_0^x\left ( 1+\frac{x-t}{1!}+\frac{(x-t)^2}{2!}+...+\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} \right )e^{nt}dt$ ，求 $f^{(n)}(x)$

十一，其他题目

1，设f(x)在 $[0,+\infty)$ 上连续， $\int_0^{+\infty} f(x)dx$ 收敛，求 $\lim_{y\to+\infty}\frac{1}{y}\int_0^yxf(x)dx$

2，证明不存在可导的f(x)， $f(f(x))=1+x^2+x^4-x^3-x^5$

3，f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导， $0\leq a<b\leq \frac{\pi}{2}$ ，证明： $\exists\varepsilon ,\eta \in(a,b),f'(\eta)tan\frac{a+b}{2}=f'(\varepsilon )\frac{sin\,\eta}{cos\,\varepsilon }$

4，f''(x)连续，f''(x)>0, f(0)=f'(0)=0, u=x-f(x)/f'(x)，求 $\lim_{x\to0^+}\frac{\int_0^uf(t)dt}{\int_0^xf(t)dt}$

5，求 $\int \frac{e^x(1+sin\, x)}{cos\, x}dx$

6，f(x)在[a,b]上连续， $\int_a^bf(x)dx=0,\,\int_a^b xf(x)dx=0$ ，证明 $\exists x_1,x_2,x1\neq x_2,f(x_1)=f(x_2)=0$

7， $f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} \,(0\leq x\leq 1)$ ，证明：f(x)+f(1-x)=f(1)-lnxln(1-x)

8，设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数，f''(x)<0, f(a)=f(b)=0,

证明：（1）当 $x\in(a,b)$ 时，f(x)>0 （2） $\int_a^b\left | \frac{f''(x)}{f(x)} \right |dx>\frac{4}{b-a}$

9，f(x)在 $[1,+\infty)$ 上有连续的二阶导数，f'(1)=1,f(1)=0,且二元函数 $z=(x^2+y^2)f(x^2+y^2)$ 满足 $\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=0$ ，求f(x)最大值

10，设f可微， $\frac{\partial f}{\partial x}=-f,\, \lim_{n\to\infty}\left ( \frac{f(0,y+\frac{1}{n})}{f(0,y)} \right )^n=e^{cot\,y},\,f(0,\frac{\pi}{2})=1$ ，求f

11，设f(t)在 $(0,+\infty)$ 上有连续的二阶导数，f(1)=0, f'(1)=1, $u=f(\sqrt{x^2+y^2+z^2}),\,\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial z^2}=0$ ，求f(t)

12，设f(x,y)在 $D:x^2+y^2\leq1$ 上有二阶连续偏导，且 $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=e^{-(x^2+y^2)}$ ，证明： $\iint_{D}(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y})dxdy=\frac{\pi}{2e}$

13， $\forall x,y,f(x+y)=e^yf(x)+ae^xf(y),f'(0)=1$ ，求a和f(x)

14，f(x)在[0,1]上连续， $m=\int_0^1f(x)dx$ ，求 $\int_0^1\int_x^1\int_x^yf(x)f(y)f(z)dxdydz$

15，设f(x)是具有三阶连续导数的实函数， $\forall x,f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0,f'''(x)<f(x)$ ，证明： $\forall x,f'(x)<2f(x)$

16， ${x_n}$ 满足 $x_n\geq 0,\,x_{m+n}\leq x_m+x_n$ ，求证 $\{\frac{x_n}{n}\}$ 收敛

17，f(x,y)分别关于x,y连续，且关于y单调，证明：f连续

18，f(x)在[a,b]上有连续的导数，f(a)=0，证明 $\int _a^b f^2(x)dx\leq \frac{(b-a)^2}{2} \int _a^b (f'(x))^2dx$

19，f(x)、g(x)均为[a,b]上的连续增函数，证明 $\int_a^bf(x)dx\int_a^bg(x)dx\leq (b-a)\int_a^bf(x)g(x)dx$

20，设 $a_1,b_1$ 是任意实数， $a_n=\int_0^1max(b_{n-1},x)dx,b_n=\int_0^1min(a_{n-1},x)dx,n=2,3,4...$ ，求 $\lim_{n\to\infty}a_n$ 和 $\lim_{n\to\infty}b_n$

21，（1）若 $\lim_{n\to\infty}a_n=a$ ，证明 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+...a_n}{n}=a$

（2）若存在p为正整数， $\lim_{n\to\infty}(a_{n+p}-a_n)=\lambda$ ，证明 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=\frac{\lambda}{p}$

22，f(x)在[a,b]上连续， $\int_a^xf(t)dt=(x-a)f(\varepsilon ),\,a\leq \varepsilon \leq x \leq b$ ，若f'(a)存在且不为0，求 $\lim_{x\to a^{+}}\frac{\varepsilon -a}{x-a}$

23，f(x)在 $x_0$ 的邻域内n阶可导， $f^{(2)}(x_0)=f^{(3)}(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0)\neq 0$ , $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0+h\theta(h)),0<\theta(h)<1$ ，

证明 $\lim_{h\to 0}\theta(h)=\frac{1}{\sqrt[n-1]{n}}$

24， $\forall x,a,\int_{x-a}^{x+a}f(t)dt=2af(x)$ ，证明f(x)是线性函数

25，当x>-1时， $f'(x)+f(x)=\frac{1}{x+1}\int_0^xf(t)dt$ ，且f(0)=1，证明x>=0时, $e^{-x}\leq f(x)\leq 1$

26，求 $\int(|1+x|-|1-x|)dx$

27，f(λx+(1-λ)y)<=λf(x)+(1-λ)f(y), ∀x,y∈R, λ∈(0,1)为常数

（1）证明f(x)连续（2）∀a>0, ∀g(x)连续，证明 $\frac{1}{a}\int_0^a f(g(x))dx\geq f(\frac{1}{a}\int_0^ag(x)dx)$

大学生数学竞赛（高数篇）相关推荐

第十二届全国大学生数学竞赛非数类试题
第十二届全国大学生数学竞赛非数类试题声明本人是菜鸡,此贴非干货贴.只是作为自己比赛的一个记录和总结.(大佬们请不要diss我啊啊啊啊啊) 我开始准备的时间是比赛开始前两个星期,因为今年疫情比赛推延 ...
全国大学生数学竞赛备考——高数上（极限、导数、微分、积分、级数）
我真的会忘(3) 极限两个重要极限公式常用极限公式导数.微分与积分牛顿-莱布尼茨公式莱布尼兹公式微分中值定理罗马中值定理拉格朗日中值定理柯西定理泰勒公式几个常见的麦克劳林公式洛 ...
关于参加大学生数学竞赛的一点感悟与体会
CSDN话题挑战赛第1期活动详情地址:https://marketing.csdn.net/p/bb5081d88a77db8d6ef45bb7b6ef3d7f 参赛话题:大学生竞赛指南话题描述: ...
全国大学生数学竞赛公式（全）
全国大学生数学竞赛公式(全) 前言一.高数上二.高数下补充微分方程解法公式泰勒展开式常用麦克劳林公式一些结论前言博主花了一周时间,整理了全国大学生数学竞赛的公式,需要自取哦,转载加我 ...
非数学类全国大学生数学竞赛总结
原文:https://blog.csdn.net/weixin_38490884/article/details/80997308 [本文最后更新日期:2018年9月27日] 笔者作为一名工科生参加了 ...
2019年第11届全国大学生数学竞赛初赛(非数学类)试题详细解答
[2020年第12届全国大学生数学竞赛--资源分享 ][1~11届省赛.决赛考题及题解(数学类.非数学类).推荐学习网址.复习备考书籍推荐]https://blog.csdn.net/weixin_4 ...
中国电子计算机大学竞赛安徽分赛,我院学子喜获第十二届全国大学生数学竞赛安徽赛区15项一等奖...
本网讯近日,第十二届全国大学生数学竞赛安徽赛区结果正式揭晓,我校数学与统计学院.电子信息与电气工程学院.物理与材料工程学院.计算机学院共72名学生获安徽赛区奖项,包括安徽省一等奖15项,二等奖15项, ...
计算机竞赛湖北有哪些,我校29名学生在全国大学生数学竞赛湖北赛区获奖
第九届全国大学生数学竞赛初赛成绩近日揭晓,我校数学与计算机学院毛耀老师指导的29名参赛学生表现优异并获得奖项,其中,5名同学获得全国大学生数学竞赛湖北赛区一等奖:5名同学获得全国大学生数学竞赛湖北赛区 ...
2014 年第六届全国大学生数学竞赛江西赛区赣南师范学院获奖名单(数学专业)
2014 年第六届全国大学生数学竞赛江西赛区赣南师范学院获奖名单(数学专业) 姓名性别学校所学专业类别获奖等级李秀芹女赣南师范学院数学与应用数学数学专业一等奖杨启明男赣南师 ...

大学生数学竞赛（高数篇）

一，知识点

1，达布定理

2，达布定理的推论

3，施笃兹定理（Stolz）

4，导数公式

5，泰勒展开公式

6，柯西不等式

7，积分中值定理

二，极限题

1，施笃兹定理

2，其他极限题

三，罗尔定理、中值定理、达布定理

1，罗尔定理

2，微分中植定理

3，柯西中值定理

4，积分中值定理

5，达布定理

四，积分

1，定积分

2，二重积分

3，积分上限函数

五，微分方程

1，普通微分方程

2，特殊微分方程

六，导数相关

七，易错题

八，难题

九，解题技巧

1，逐项求导法（生成函数法）

2，交换求和顺序法

3，特殊的极坐标用法

4，定义法

5，其他特殊方法

十，反常规题

十一，其他题目

大学生数学竞赛（高数篇）相关推荐

最新文章

热门文章