机器学习数学基础之高数篇——简单的泰勒公式(python版)
不少同学一提到泰勒公式,脑海里立马浮现高大上的定义和长长的公式,令人望而生畏。
实际上,泰勒公式没有那么可怕,它是用简单的多项式来逼近一个光滑的函数,从而近似替代不熟悉的函数。由于泰勒公式具有将复杂函数近似成多个幂函数叠加形式的性质,可以用它进行比较、求极限、求导、解微分方程等。
我们先来看一下泰勒公式的发明者,布鲁克·泰勒——
布鲁克·泰勒(Brook Taylor,1685-1732),英国数学家,牛顿学派最优秀的代表人物之一,他于1712年的一封信里首次叙述了泰勒公式。
再来看一下高数书上对泰勒公式的定义:
公式3-5就称为f(x)在x0处的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式。
初看这个泰勒公式的定义,就觉得恢宏大气,气势磅礴。不过光从泰勒公式的定义,很难直观看出它是怎么用多项式逼近原函数的。接下来我们用图像和图表来感受一下——
这里我们先列举出f(x) = cosx在原点的泰勒2阶、4阶、6阶、8阶、10阶的多项式,并用图像表示该函数及其泰勒n阶多项式。
2阶多项式:
g ( x ) = 1 − 1 2 ! x 2 g(x) = 1-\frac{1}{2!}x^{2} g(x)=1−2!1x2
4阶多项式:
g ( x ) = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 g(x) = 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} g(x)=1−2!1x2+4!1x4
6阶多项式:
g ( x ) = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − 1 6 ! x 6 g(x) = 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} - \frac{1}{6!}x^{6} g(x)=1−2!1x2+4!1x4−6!1x6
8阶多项式:
g ( x ) = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − 1 6 ! x 6 + 1 8 ! x 8 g(x) = 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} - \frac{1}{6!}x^{6} + \frac{1}{8!}x^{8} g(x)=1−2!1x2+4!1x4−6!1x6+8!1x8
10阶多项式:
g ( x ) = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − 1 6 ! x 6 + 1 8 ! x 8 − 1 10 ! x 10 g(x) = 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} - \frac{1}{6!}x^{6} + \frac{1}{8!}x^{8} - \frac{1}{10!}x^{10} g(x)=1−2!1x2+4!1x4−6!1x6+8!1x8−10!1x10
对应图像如下,其中黑色线条为原函数f(x),彩色线条为多项式g(x)。可以看到随着阶数的增大,多项式在更大范围内越来越逼近原函数。
我们再用python实现函数y=cosx的泰勒n阶多项式,并与y=cosx的实际值进行比较,其中令n=40。
def f_cos(x):m = 20+1sum = 1.0for i in range(1,m): #range函数取值是左闭右开n = 2 * i tmp1,tmp2,tmp3 = 1,1,1for j in range(1,i+1):tmp1 = -tmp1 for j in range(1,n+1): tmp2 = tmp2*xtmp3 = tmp3*jsum = sum + tmp1*tmp2/tmp3return sum
from numpy import *
for x in range(-20,21):print("x = " + str(x))print("f_cos(x) = " + str(f_cos(x)))print("cos(x) = " + str(cos(x)))
比较自定义的f_cos(x)和numpy库的cosx的误差:
x取值 | 自定义的f_cos(x) | numpy库的cosx | 误差(f_cos(x) - cos(x)) | 分析 |
---|---|---|---|---|
20 | 2577.3069 | 0.4081 | 2576.8988 | 误差非常大 |
19 | 305.1701 | 0.9887 | 304.1814 | 误差较大 |
18 | 32.5969 | 0.6603 | 31.9366 | 存在误差 |
17 | 2.6676 | -0.2752 | 2.9428 | 存在误差 |
16 | -0.7234 | -0.9577 | 0.2343 | 存在0.1级误差 |
15 | -0.7439 | -0.7597 | 0.0158 | 存在0.01级误差 |
14 | 0.1376 | 0.1367 | 0.0009 | 存在0.0001级误差 |
13 | 0.9075 | 0.9074 | 0.0000 | 精度范围内一致 |
12 | 0.8439 | 0.8439 | 0.0000 | 精度范围内一致 |
11 | 0.0044 | 0.0044 | 0.0000 | 精度范围内一致 |
10 | -0.8391 | -0.8391 | 0.0000 | 精度范围内一致 |
9 | -0.9111 | -0.9111 | 0.0000 | 精度范围内一致 |
8 | -0.1455 | -0.1455 | 0.0000 | 精度范围内一致 |
7 | 0.7539 | 0.7539 | 0.0000 | 精度范围内一致 |
6 | 0.9602 | 0.9602 | 0.0000 | 精度范围内一致 |
5 | 0.2837 | 0.2837 | 0.0000 | 精度范围内一致 |
4 | -0.6536 | -0.6536 | 0.0000 | 精度范围内一致 |
3 | -0.9900 | -0.9900 | 0.0000 | 精度范围内一致 |
2 | -0.4161 | -0.4161 | 0.0000 | 精度范围内一致 |
1 | 0.5403 | 0.5403 | 0.0000 | 精度范围内一致 |
0 | 1.0000 | 1.0000 | 0.0000 | 精度范围内一致 |
由于f(x) = cosx函数关于y轴对称,这里只列举出了x轴右半部分[0,20]的范围,x轴左半部分的结果与右半部分结果相同。
在[0,20]范围内,当x=20时,二者的误差非常大。随着x的减小,二者的误差也在逐渐减小。在[0,13]范围内,二者在精度范围内完全一致,几乎零误差。
大家可以尝试一下,把n的值调大,这个精度一致的范围会变大。例如此例若n=30,即y=cosx的泰勒30阶多项式,则在[-20,20]范围内,二者精度都完全一致。感兴趣的同学可以运用同样的方法,分析一下其他函数。
再试着写出函数y=sinx的泰勒n阶多项式的python程序,其中n=19。
def f_sin(x):m = 10+1sum = 0.0for i in range(1,m):n = 2 * i - 1 tmp1,tmp2,tmp3 = 1,1,1for j in range(1,i):tmp1 = -tmp1 for j in range(1,n+1): tmp2 = tmp2*xtmp3 = tmp3*jsum = sum + tmp1*tmp2/tmp3 return sum
from numpy import *
for x in range(-20,21):print("x = " + str(x))print("f_sin(x) = " + str(f_sin(x)))print("sin(x) = " + str(sin(x)))
后续会继续增加一些函数的泰勒n阶多项式python程序(可能会偷懒)。
最后推荐一个比较好用的在线画函数的工具Desmos:
https://www.desmos.com/calculator?lang=zh-CN
简易教程:
https://www.ravenxrz.ink/archives/27d14722.html
还可以用著名的心形线画个爱心哦:
工欲善其事必先利其器,大家有什么好用的工具,可以评论区推荐一下。
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