漫步微积分三十——定积分的性质

代数和几何面积

在前面的章节我们考虑了曲线y=f(x)y=f(x)下方和x=a,x−bx=a,x-b之间围成区域的面积，还有两个假设分别是(1)f(x)≥0;(2)a<b(1)f(x)\geq 0;(2)a。然而通过逼近和的极限来定义定积分的公式即

∫baf(x)dx=limmax Δxk→∞∑k=1nf(x∗k)Δxk(1)

\begin{equation} \int_a^bf(x)dx=\lim_{{\rm max\ \Delta x_k}\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k^*)\Delta x_k\tag1 \end{equation}

不依赖于这两个假设。

例如，假设曲线位于xx轴下方，如图1左边所示。在这种情况下，我们会质疑说曲线下边的区域，但我们肯定可以用曲线，xx轴在x=a,x=bx=a,x=b围成的区域来描述他。(1)中的每一项显然是负的因为f(x∗k)<0f(x_k^*)。因此，f(x∗k)<0Δxkf(x_k^*)是阴影矩形面积负值，该区域面积的积分是负值，因此

area of the region=−∫baf(x)dx

{\rm{area\ of\ the\ region}}=-\int_a^bf(x)dx

同样，如果曲线部分在xx轴上部，部分在下部，如图1右所示，那么积分(1)可以看做正项和负项的和，对应与xx轴上面和下面的部分：

∫baf(x)dx=A1−A2+A3−A4(2)

\begin{equation} \int_a^bf(x)dx=A_1-A_2+A_3-A_4\tag2 \end{equation}

其中面积A1,A2,A3,A4A_1,A_2,A_3,A_4都是正的。积分(2)经常称作区域的代数面积，因为在计算面积是，位于xx轴上方的取正，位于下方的取负。如果每部分都取正数的话，得到的是几何面积：

A1+A2+A3+A4=∫ca−∫dc+∫ed−∫be(3)

\begin{equation} A_1+A_2+A_3+A_4=\int_a^c-\int_c^d+\int_d^e-\int_e^b\tag3 \end{equation}

为了求出几何面积，我们必须画出图像，得到交点然后分别计算(3)右边的每个积分，这样的话就能得到正确的符号组合。

图1

其他性质

如果我们去掉条件a<ba而用相反的假定a>ba>b，我们仍然可以保留定积分的纯数字定义(l)。因为我们从aa到bb遍历区间，所以增量Δx∗k\Delta x_k^*为负，这是唯一的变化。由此得到方程

∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx(4)

\begin{equation} \int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx\tag4 \end{equation}

对于所有的a,b(a≠b)a,b(a\neq b)都是成立的。另外，因为(4)表明交换积分的上下限会改变积分的符号，所以很自然得出

∫aaf(x)dx=0(5)

\begin{equation} \int_a^af(x)dx=0\tag5 \end{equation}

如果a<ba，cc是a,ba,b间的任何一个数，根据(1)很容易得到

∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx(6)

\begin{equation} \int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\tag6 \end{equation}

性质(4)(5)告诉我们(6)对任意的三个数a,b,ca,b,c都成立，不管他们互相之间是否存在关系。

根据定义(1)，我们进一步列出了一些定积分的性质：

∫bacf(x)dx∫ba[f(x)+g(x)]dxif f(x)≤g(x) on [a,b],=c∫baf(x)dx=∫baf(x)dx+∫bag(x)dxthen∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx(7)(8)(9)

\begin{align} \int_a^bcf(x)dx&=c\int_a^bf(x)dx\tag7\\ \int_a^b[f(x)+g(x)]dx&=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx\tag8\\ {\rm if\ }f(x)\leq g(x)\ on\ [a,b],\quad \quad \int_a^bf(x)dx\leq \int_a^bg(x)dx\tag9 \end{align}

换句话说，性质(7)表示常数因子可以移到积分符号外边，(8)表示和的积分等于单个积分的和。

变积分限

在书写定积分时，我们将xx作为积分变量

∫baf(x)dx(10)

\begin{equation} \int_a^bf(x)dx\tag{10} \end{equation}

然而，(10)是一个固定的数，其值并不取决于用哪个字母来表示变量。除了(10)，我们同样可以写为

∫baf(t)dt∫baf(u)du

\int_a^bf(t)dt\quad \int_a^bf(u)du

或任何类似的表达式，其意义都是一样的。用这种方式表示的字母通常被称为虚拟变量。

在大多数情况下，使用什么字母都无所谓，只要想法理解清楚就行。然而，有时我们想要通过积分给定的函数f(x)f(x)来构建一个新函数F(x)F(x)，积分下限为aa，上限是一个变量，如下所示

F(x)=∫xaf(x)dx(11)

\begin{equation} F(x)=\int_a^xf(x)dx\tag{11} \end{equation}

很明显这种用法可能会造成混淆，因为右边的字母xx有两种不同的含义：积分上限，虚拟变量。为此，习惯上，我们将(11)写成以下形式

F(x)=∫xaf(t)dt(12)

\begin{equation} F(x)=\int_a^xf(t)dt\tag{12} \end{equation}

将tt作为虚拟变量代替xx

(12)定义的函数F(x)F(x)具有两个重要的性质。首先，只要被积函数是在a,xa,x区间上是连续的，那么积分肯定存在。第二，此函数的导数是被积函数上限的值：

ddxF(x)=ddx∫xaf(t)dt=f(x)(13)

\begin{equation} \frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)\tag{13} \end{equation}

对于任何给定的连续函数f(x)f(x)，为了找出不定积分，它提供了令人满意的理论解。作为一个实际的问题，可能很难(甚至是不可能)用任何熟悉的函数来计算

∫f(x)dx=F(x)

\int f(x)dx=F(x)

但是，即使我们找不到F(x)F(x)的公式，至少我们知道，原则上连续函数的不定积分总是存在的，即(12)定义的函数。

例1：找出下面不定积分问题的一个显式公式

∫dxx10+1−−−−−−√3=F(x)

\int\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{10}+1}}=F(x)

现在我们无法解决，并且将永远无法解决。然而，如果我们不需要一个显式公式，而只是一个定义良好的函数，那么

F(x)=∫x0dtt10+1−−−−−√3

F(x)=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt[3]{t^{10}+1}}

就满足条件。

例2：让我们试着计算

ddx(∫x0dt1+t2)

\frac{d}{dx}\left(\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}\right)

目前这个阶段，我们无法找出一个可导的函数来表示括号内的积分。但这并不重要。根据(13)，我们立即得到

ddx(∫x0dt1+t2)=11+x2

\frac{d}{dx}\left(\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}\right)=\frac{1}{1+x^2}

因此在求导可以解决的时候下，没必要一定先求积分。