条件极值例题_条件极值与函数习题课.doc
条件极值与函数习题课
第十四、十五章 条件极值与隐函数习题课
一、重要内容
极值
1)、无条件极值的计算和判断
主要步骤:
i)、计算可疑点:驻点+偏导数不存在的点。
Ii)、判断
A)、判断可疑点为极值点,常用方法:
a)、定义法:计算,若存在某个,使
得在上恒成立,则为极小值点;若存在某个,使得在上恒成立,则为极大值点。
b)、利用题意和问题的实际背景判断,此时,可疑点通常是唯一的。即若要求计算极大值或问题的实际背景要求存在极大值,则唯一的可疑点必是极大值点;即若要求计算极小值或问题的实际背景要求存在极小值,则唯一的可疑点必是极小值点。
c)、驻点处极值性质的二阶导数判别法(二阶微分法)。
通过的Heisen矩阵H的正定或负定性判断点的极值性质。
B)、判断可疑点不是极值点,常用方法有:
a)、定义法:对任意的,确定一对点,使得
则,不是极值点。
b)、二阶导数法:H为不定矩阵时,不是极值点。
2)、条件极值的计算与判断
主要步骤:
i)、构造L-函数;
ii)、计算L-函数的驻点;
iii)、判断,常用方法为二阶微分法。
3)、隐函数极值的计算
4)、极值的应用
主要有 计算函数闭区域上的最值;证明多元不等式。
2、隐函数存在定理
要求:熟练掌握极值和条件极值的计算和应用,了解隐函数存在定理。
二、典型例题
例1、讨论的极值。进一步研究沿任意直线在的极值性质。
解、先计算驻点。求解
得唯一驻点。
判断。计算得,H=0,故二阶导数法失效。(同样,,因而不能确定对任意的(dx,dy),都成立>0,二阶微分法同样失效。)用定义判断。注意到
因而,对任意,取r充分小满足,则 且,故不是极值点。
再考虑沿直线y=kx在的极值性质。转化为无条件极值讨论。
当k=0时,沿直线y=0, 函数z转化为一元函数,因而为其极小值点,故对应的为函数z沿直线y=0的极小值点。
当时,沿直线y=kx,则,为驻点,进一步判断为极小值点,因而,对应的为原函数z沿直线y=kx的极小值点。
注、事实上,在原点的任意邻域内,通过曲线将邻域分成曲线下面的部分、夹在两条曲线之间的部分和曲线上面的部分,函数z在上下两部分上取值为正,在曲线间的部分取值为负,而正取自使函数不同号的部分里。当沿直线y=kx考虑时,由于当x充分小时,直线y=kx总在曲线的上方,因而,取不到使函数z取负值的点如,故是极值点。
注、结论表明:设为函数z的定义域内某一点,沿任一过直线,为函数z极值点,并不一定表明点就是函数z在其定义域内的极值点。
例2、计算z=f(x,y)=在由直线x+y=6及x轴、y轴所围成的闭区域D上的极值和最值。
解、先计算D内的极值点。求解
的D内驻点。
(注、(0,y)、(4,0)也是驻点,但不在D内,而在D的边界上。)
判断。计算得,H=32,
故,为极大值点且对应的极大值为。
其次,计算边界上的最值。
记D的边界为 、、
。则,,计算得
最后,对内部极值和边界值进行比较。比较内部极值和边界值可知:函数z在D的内部有极大值,而在整个闭区域D上,函数的最大值为,最小值为f(4,2)=-64.
例3、设为正定矩阵,计算在上的最值。
解、在有界闭集 上连续,因而存在最大值点
和最小值点,故,最小值,又由正定性得。进一步计算如下:构造
,
得驻点方程组:
,
由于在D上必能达到最大值和最小值,故上述方程组必有解。和就是其两个解。由(3)知:其解必为非零解,因而对(1)、(2),必有
解得 ,
。
设为其一组解,则代入方程组且由 得
,
因而, 。即对应的一组解必满足,因此,必有
,。
例4、计算在下的最大值。
其中
解、显然,函数f>0,此时,f(x,y,z)与具有相同的单调性,故可以采用对数法。
记,构造L-函数
则,求解如下驻点方程组
得。
又,计算得
故,在,因而在点达到极大值。
又,沿边界x=0,y=0,z=0,都有,故所求最大值为。
注、注意掌握上述求极值的对数法。
例5、计算在条件下的最小值。
其中。
解、构造L-函数,求解方程组
,
得唯一驻点。
由题意和驻点的唯一性,则在处达到最小值。
特别,当时,在下在处达到最小值,因而,成立不等式
。
注、利用题意和驻点的唯一性,不需进一步的判断,可以直接给出唯一的驻点处的极值性质,这也是计算极值时应该掌握的技巧之一。
例7、证明:时成立不等式 。
证明、用极值理论证明不等式。记,,只需证明在D上成立 ,
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