条件极值例题_条件极值问题、拉格朗日乘数法

最近有一道网红题长这样：

求

这看上去不是很像高中题，倒像是联赛的送分题，或者是拉格朗日乘数法的练习题。

在这里，我就给出一个有拉乘味道的解法：

取等条件

看了文章的标题，就能够知道上面

的系数是怎么来的了。在这里，我稍微提一下拉格朗日乘数法：

拉格朗日乘数法是用来解决条件极值问题的一种方法。

条件极值问题：设

，求

的极值。

我们来看看拉格朗日是怎么处理这种问题的：

设

令

对

的偏导数为

，

也就是

这样解出来的

就是所有可能的极值。

相信大家已经很熟悉这种方法了，这种方法的正确性也不需要我再阐述一遍。

在文章开头的问题中，我们就用到了这样的方法，不过我将解方程组的过程直接舍去，改造成了直接利用

的数值进行配凑。

当然，这仅仅是拉格朗日乘数法最简单的形式。我先给出几道例题稍微做一些拓展：

例1

求

的最大值。

解答

当

可以取等，因此所求的值为

例2

证明

解答这是很经典的一道IMO题，这道题的变形我也在everlasting：2008江西卷理科数学22题里写过，现在让我们重复利用曾经的做法来做这道题：

原不等式即

在这里我们不妨设

这样原题等价为

证明

不妨设

令

则

容易知道

在

单调递减，在

单调递增。

因此若

则

若

则

综上原不等式成立。

虽然我只选了两道题，但可以看出这种方法可以运用的范围是很广的。

不过以上的运用例子，仍然是比较浅层的例子。下面我们来看看条件极值问题和极值点偏移问题的关系。

首先我给出结论：极值点偏移问题也是一类特殊的条件极值问题。我们先看一些最简单的例子：

例3

若

满足

证明：

(1) 若

则

(2) 若

且

则

用这道我之前出的题做例子，就可以看得出来条件极值问题和极值点偏移的联系。注意到在这个问题中

的条件其实是没有特别的限制意义的。如果将这个条件去掉，下面两个命题也只是变化为可以取等了而已。

这是条件极值问题吗？是的。这是极值点偏移问题吗？是的，因为这道题的内在和极值点偏移是一致的。

这题的做法我也不用多说了，读者可以自行解决。

例4

证明

的条件是一个令人尴尬的条件，有了它我们就不能单纯地将这个问题看做条件极值。但事实上我们可以对问题进行一些转化：

证明

这样我们就能把令人尴尬的限制条件舍去了。

我们令

求解

就行了。

好像方程看起来无解？但方程有一个“不存在的根”，恰巧是

对方程取极限后我们就可以得到这个根(当然这个极限的运算并不那么容易)。虽然这个过程在数学意义上是不严谨的，但这能帮助我们理解这类问题。

有了

之后我们即可以解决问题了：去分母以后构造

即可。

要注意，在这两个例子中，拉格朗日乘数法做法的内涵与everlasting：极值点偏移的几种分参方法中提到的法二的内涵是一致的。所构造的函数也是一模一样的。因此我们可以认为法二是拉格朗日乘数法的延伸。

当然，极值点偏移用法二来解决更加合适，那个方法是简化过的方法。我在这篇文章特意提到，仅仅是为了说明它们之间的联系。

我还有一些点子，等有时间的时候，我将会做更多的推广。

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