幂级数和函数经典例题_幂级数和函数的几种常见解法

幂级数和函数的几种常见解法

方

艳

程

航

【摘

要】

[

摘要

]

无穷级数是微积分学的重要组成部分，在数学理论研究和工程

实际应用上起着举足轻重的作用。有关无穷级数里最常见的一类函数项级数—

—幂级数问题的研究在大学数学教学中显得十分有意义，该文主要通过若干实

例对幂级数和函数的求解思路进行总结，并给出具体的解题过程。

【期刊名称】

海峡科学

【年

(

卷

期】

2018(000)002

【总页数】

【关键词】

[

关键词

]

幂级数

和函数

收敛半径

本文首先给出幂级数与和函数的定义，然后通过列举实例总结其解题思路，并

相应给出解答过程。需注意的是，本文探讨的解法适合于复数域。

幂级数的定义

我们称函数项级数形如

为幂级数。从定义可以看出，幂级数的和是关于的函数，表示为，若落在幂级

数收敛域

内，则称为该幂级数的和函数，记作。如果，

和

取实数，则对

应的级数就是实幂级数，此时收敛域为收敛区间。目前，大部分微积分教材里

的幂级数默认是实幂级数，而本文讨论的是基于复数的更广泛的幂级数。

通常，在求解幂级数和函数时需要先求出收敛半径，进而求得收敛域，然后再

求幂级数在收敛域上的和函数。由于收敛半径

易通过比值法()和根值法()

求得，进而求得收敛域，所以以下例题中的幂级数默认为已经在其收敛域上收

敛，不作具体求解，只针对幂级数和函数求解方法进行讨论。

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