如何用牛顿迭代法求平方根

设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，(x0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记作①f’(x0) ；②y’│x=x0 ；③ │x=x0，即

导函数
如果函数y=f(x)在开区间内每一点都可导，就称函数f(x)在区间内可导。这时函数y=f(x)对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f(x)的导函数，记作y’、f’(x)、dy/dx或df(x)/dx，简称导数。
导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献。
几何意义
函数y=f(x)在x0点的导数f’(x0)的几何意义：表示函数曲线在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

（二）牛顿迭代法
牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f’(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f’(x0)，称x1为r的一次近似值。

过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f’(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f’(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

根据牛顿迭代的原理，可以得到以下的计算sqrt（n）的迭代公式：X(n+1)=[X(n)+p/Xn]/2。详细解释见下文。

一般性的编程方法如下：

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1 double sqr(double n) {
2 double k=1.0;
3 while(abs(k*k-n)>1e-9) {
4 k=(k+n/k)/2;
5 }
6 return k;
7 }
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（三）利用牛顿迭代法计算开平方根
这种算法的原理很简单，我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^{2-a=0的根。根号a实际上就是x}2-a=0的一个正实根，这个函数的导数是2x。也就是说，函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么，x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入f(x)=x^{2-a得到x-(x}2-a)/(2x)，也就是(x+a/x)/2。

过程如下：

首先随便猜一个近似值x，然后不断令x等于x和a/x的平均数，迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。
例如，我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了：

( 4 + 2/ 4 ) / 2 = 2.25
( 2.25 + 2/ 2.25 ) / 2 = 1.56944…
( 1.56944…+ 2/1.56944…) / 2 = 1.42189…
( 1.42189…+ 2/1.42189…) / 2 = 1.41423…

下面用C语言实现一遍：

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1 #include “stdio.h”
2 #include “math.h”
3
4 int main(void)
5 {
6 double n,y=1.0;
7
8 printf(“请输入一个需要求其平方根的数：”);
9 scanf("%lf",&n);
10
11 // 反复代入 x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]
12 while(fabs((1.0/2.0*(y+n/y))-y)>=0.00001)
13 {
14 y=1.0/2.0*(y+n/y);
15 printf( “y=%lf\n”, y );
16 }
17 printf(“平方根为%f\n”,y);
18 return 0;
19 }
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程序运行结果：

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请输入一个需要求其平方根的数：2
y=1.500000
y=1.416667
y=1.414216
平方根为1.414216

请输入一个需要求其平方根的数：3
y=2.000000
y=1.750000
y=1.732143
y=1.732051
平方根为1.732051
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更快的方法

1999年12月，美国id Software公司发布了名为“雷神之锤III”的电子游戏。它是第一个支持软件加速的游戏，取得了极大成功。（由于影响力过大，文化部于2004年将它列入了非法游戏名单）

雷神之锤III并不是id Software公司的第一次成功。早在1993年开始，这家公司就以“毁灭战士”系列游戏名闻天下。1995年，“毁灭战士”的安装数超过了当年微软的windows 95。据传比尔盖茨才曾经考虑买下id software。（id software公司后来被推出过“上古卷轴”系列的Bethesda公司买下）

id Software所取得的成功很大程度上要归功于它的创始人约翰·卡马克。马克尔也是一个著名的程序员，他是id Software游戏引擎的主要负责人。回到刚才提到的雷神之锤，马克尔是开源软件的积极推动者，他于2005年公布了雷神之锤III的源代码。至此人们得以通过研究这款游戏引擎的源文件来查看它成功的秘密。

在其中一个名字为q_math.c的文件中发现了如下代码段。

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1 float Q_rsqrt( float number ) {
2 long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F;
3 x2 = number * 0.5F;
4 y = number;
5 i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
6 i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
7 y = * ( float * ) &i;
8 y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
9 // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
10 #ifndef Q3_VM #
11 ifdef linux assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
12 #endif
13 #endif return y;
14 }
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这段代码的作用就是求number的平方根，并且返回它的倒数。经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍。

以雷神之锤III程序为蓝本可以写出比sqrt()更强大的求平方根函数：

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1 int sqrt(float x) {
2 if(x == 0) return 0;
3 float result = x;
4 float xhalf = 0.5fresult;
5 int i = (int)&result;
6 i = 0x5f375a86- (i>>1); // what the fuck?
7 result = (float)&i;
8 result = result(1.5f-xhalfresultresult); // Newton step, repeating increases accuracy
9 result = result*(1.5f-xhalfresultresult);
10 return 1.0f/result;
11 }

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