牛顿迭代法求平方根倒数

牛顿迭代法，第二次看了，发现几乎又是从头开始搜集资料，不如整理记录一下，也和大家分享一下；

牛顿迭代法的核心思想是：切线是曲线的线性逼近，通过迭代求切线最后找到函数近似解的过程。具体可以参考下面这个文章，图示画的很容易理解。

牛顿迭代法求平方根（通俗易懂版）_付石头的博客-CSDN博客_迭代法求平方根

既然理解和其核心思想，那么就开始进行公式推导：

对上图求f(x)的零点x0即：f(x)=0的解，由牛顿迭代的核心思想可知， $x^{_{k+1}}$ 是比 $x^{_{k}}$ 更靠近 $x^{_{0}}$ 的点；那么 $x^{_{k+1}}$ 和 $x^{_{k}}$ 直接的关系可以描述为 $f^{_{'}}(x^{_{k}})=\frac{f(x^{_{k}}))}{x^{_{k+1}}-x^{_{k}}}$ 斜率等于tan角。从而推导出牛顿迭代法的核心公式：

而对于求解 $y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ,我们是知道x的，因此y是未知数，即求解的值。因此可得：

将其带入牛顿迭代公式得：

在进行平方根倒数求解的时候，初值的选择有一个大而神秘的讲究，有一个魔法数字大大提升了迭代效率，可以参考如下文章，或者Lomont的论文《Fast Inverse Square Root》。

0x5f375a86魔法数字_「已注销」的博客-CSDN博客

将上式的y提出来，得到下图代码中的

其中f表示浮点数float，对此式迭代一次精度会有损失，计算速度快，选择迭代两次精度会大大提高，计算速率慢。此方法也经常用到芯片设计中对数求平方根的倒数，只需要两次迭代即可求出。

float isqrt_nosse(float x)
{float xh = 0.5f * x;std::int32_t i = *(std::int32_t*) &x;// "magic number" which makes a very good first guessi = 0x5f375a86 - (i >> 1);x = *(float*) &i;// Newton's method. One iteration for less accuracy but more speed.x = x * (1.5f - xh * (x * x));return x;
}

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