poj 1032 Parliament 整数拆分

题意：简单说，就是给你一个数n（5=<N<=1000）,然后把这个数拆分成许多不同的自然数，使得这些自然数的乘积最大。

解题：无意中在一个奥数网站上看到整数拆分这个知识，觉得不错就搜了一个水题试试，结果果然很神奇；

根据均值不等式得，可知最好拆分后的数相差不要太大。可以从自然数2加起，用sum（n）表示和，sum（2）=2，使其满足sum（n-1）<N;sum(n)>=N;

则sum（n）-N的差值只可能是0,1,……n-1。

1、当差值是0，就讲a拆分成2,3，……n-1，n；

2、当差值是1，就将2去了，加到最后的n上即：3,4，……n-1，n+1；

3、当差值大于1，就在拆分的结果中找到和差值相等的那个数，把它去掉就好了。

详细的请到那个奥数网页http://www.aoshu.com/e/20090920/4b8bd0191bae7.shtml上查看，但是提醒读者，他这个网页上讲的有点错误，就是当差值为1的时候，下面已有本人的留言给予纠正。

同时在其他博客上也看了一点证明（以下摘抄自它人博客http://blog.himdd.com/?p=1918）：

假设最大积的分解为：
N=a1+a2+a3+…+a[t-2]+a[t-1]+a[t] （t是分解的数目，a1<a2<a3<...<a[t-2]<a[t-1]<a[t]）
下面是该数列的性质及其证明：
1）a1>1；
如果a1=1，则a1和a[t]可以由a[t]+a1=a[t]+1来替代，从而得到更大的积；

2）对于所有的i，有a[i+1]-a[i]<= 2；
如果存在i使得a[i+1]-a[i]>=3，则a[i]和a[i+1]可以替换为a[i]+1，a[i+1]-1，从而使乘积更大；

3）最多只存在一个i使得a[i+1]-a[i]=2；
如果i< j且a[i+1]-a[i]=2、a[j+1]-a[j]=2，则a[i]，a[j+1]可以替换为a[i]+1，a[j+1]-1，从而使得乘积更大；

4）a1<=3；
如果a1>=4，则a1和a2可以替换为2，a1-1，a2-1，从而使得乘积更大；

5）如果a1=3且存在i满足a[i+1]-a[i]=2，则i一定等于t-1；
如果i<t-1，则a[i+2]可以替换为2，a[i+2]-2，从而使得乘积更大；< p="">

将上面5条性质综合一下，得到该数列满足：
1）1< a1< 4
2）a[i+1]-a[i] <=2（该序列按升序排序）
3）a[i+1]-a[i]=2的情况最多只有一个

因此，我们得到最大的乘积的做法就是求出从2开始的最大连续（由上面总结的性质2和3可知）自然数列之和A，使得A的值不超过N，具体分析如下：
对输入的N，找到k满足：
A=2+3+4+...+(k-1)+k <= N < A+(k+1) = B
假设N=A+p（0<=p< k+1），即A+p是最大积的数列
1）p=0，则最大积是A；
2）1<=p<=k-1，则最大积是B-{k+1-p}，即从数列的最大项i开始，从大到小依次每项加1，知道p=0为止；
3）p=k，则最大积是A+p=A+k=A-{2}+{k+2}；( =3+4+...+k+( k+2) )。

本人代码如下：

#include <stdio.h>
int main()
{int n,shu[1000];while(~scanf("%d",&n)){int sum=0,i,j;for(i=2;sum+i<n;i++){shu[i-1]=i;sum+=i;}sum+=i;shu[i-1]=i;shu[0]=i-1;if(sum==n){for(i=1;i<=shu[0];i++)printf("%d ",shu[i]);printf("\n");}if(sum-n==1){for(i=2;i<shu[0];i++)printf("%d ",shu[i]);printf("%d ",shu[i]+1);printf("\n");}if(sum-n>=2){for(i=1;i<=shu[0];i++){if(sum-n!=shu[i])printf("%d ",shu[i]);}printf("\n");}}
}

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