简单粗暴傅里叶级数

楠木wnn2000@hust.edu.cn

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为什么写本文？

作为笔记。

为什么给文章取这个名字？

前段日子拜读过某pku学霸的《简单粗暴 TensorFlow》。这篇教程，是不可多得的 TensorFlow 中文好教程。为了向这篇教程的作者致敬，我给这篇文章取这个名字。

鸣谢

特别感谢我的好友兼偶像，华中科技大学物理学院的黄晨同学给本文校对。

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一、预备知识

1.欧拉公式

欧拉是这样证明它的。
由指数函数的麦克劳林展开式，有：

将其中的

得证。
证明看起来很完美，但是有一个小问题——麦克劳林展开的对象是实函数，当带上虚数单位

这种证明是不严谨的。事实上，欧拉公式是复指数函数定义的推论。
复分析中定义复指数函数如下：

由这个定义，欧拉公式显然成立。
下面是一本教材中的内容。可以看出欧拉公式其实是这个定义的推论，而不是证明出来的。

2.复指数的周期性

在实数域，指数函数没有周期性，而在复数域，它有周期性。
从上述指数函数的定义，显然有：

周期为

3.复指数的积分

我们考虑这样一个指数为纯虚数的复指数：

其中，

当它在一个周期内积分时，有：

显然，如果

如果

事实上，这就是三角函数的正交性。

二、傅里叶级数

1.定理的必要性

在工程上，虚数单位

对于周期为

接下来，我们来确定系数

在等式左右两边同时乘以

若交换积分和求和顺序(?)，继续计算

由预备知识可知：

那么上面的式子就可化为：

所以，我们得到系数

至此，我们证明了必要性，即函数

充分性请读者参考狄利克雷定理，这里不给出证明。
积分和求和交换次序的问题请读者参考分析教材，这里不给出证明。
至此，我们就将一个周期函数展开成了复指数级数。

2.如何理解？

如何理解这个式子？

其中，

从信号的分解角度看，对于任何一个满足迪利克雷条件的周期信号，我们都可以将它分解成若干个频率为

频率为

的整数倍的复信号叠加而成的。

3.为什么要这样分解？

如果你学过《信号与系统》，你就能更好理解这样分解的好处。
对于一个线性时不变(LTI)系统，假设系统单位冲激响应为

如果输入的是一个复指数信号

其中

当输入信号是复指数信号时，我们可以很容易确定它的输出信号——一个复常数乘上输入信号。
根据线性时不变(LTI)系统的线性性，输出信号是输入信号分解后，各分解信号单独作用的输出的线性组合。
如果我们利用傅里叶级数，将一个输入信号分解成若干个复指数信号，则输出信号就是这些复指数信号单独作用的输出的线性组合。而复指数信号单独作用的输出的形式又特别简单，将它们线性组合后，我们就能简单地获得总输出。
这就是我们展开成傅里叶级数的理由。
实现了从时域到频域的转变。

三、傅里叶级数的性质

对于一个周期函数，将其展开成系数为

1.线性性

线性组合的傅里叶级数等于傅里叶级数的线性组合。

2.时移

3.时间伸缩

特别要注意，函数的周期和频率都发生了变化。
可见时间伸缩后，其各项系数不变，但是它的基波频率发生了改变。
减小周期，会增大基波频率；增大周期，会减小基波频率。

4.时间反褶

因为，

所以，

所以，

5.微分性质

若

证明如下：

6.实信号

如果

证明如下，因为：

则，

因为，

所以，

7.奇偶性

如果

如果

不给出详细证明了，可以简单理解。
因为是实函数，根据上条性质，可设

如果是偶函数，则

欧拉公式将余弦转换成复指数，其系数都是实数。故

如果是奇函数，则

欧拉公式将余弦转换成复指数，其系数都是纯虚数。故

8.帕斯瓦尔定理

定理如下：

具体证明比较简单就不给出了。
事实上，这个式子表示了功率守恒。左边是原信号单位的功率，右边是级数各部分的功率和。
有人可能会有疑问，为什么和的平方会等于平方的和?实际上，这个问题的答案就是三角函数的正交性，只有同频率的相乘积分才不为

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全文完