我们学高等数学无穷级数里面有一个重要的级数叫做傅里叶级数，这个级数表述起来非常复杂，不好理解，很多人也是看到这个级数感觉摸不着头脑，被一长串公式吓到了，这里将通俗讲解傅里叶级数。

傅里叶级数是周期函数一个级数，对于一个满足一定条件的周期为T的周期函数f(t)，可以分解为以下形式：

简单来讲，傅里叶级数就是将一个周期函数分解为一系列正余弦函数的线性组合，看公式还是不好理解，举个例子，下图就是某周期函数分解出的四个正弦曲线，最上面那个频率最小的波称之为基波，第二条正弦曲线的频率为基本的两倍，第三条曲线的频率是基波的三倍，以此类推，周期函数还可以分解成很多正弦函数，频率倍数依次递增，通过图像可以直观看出每条曲线的振幅和相位。

那么，为什么要干这么麻烦的事呢？数学家闲着没事搞这些复杂的东西来干啥呢？这就要介绍一下分解在我们生活中的应用，我们在学高中物理时要经常要将力进行分解，这样做的目的是分析物体在不同方向上的受力特征，并且分析该力会产生什么效果，同样，我们的耳朵听到的声音就是一个关于时间的信号，这些声音是由很多声音叠加而成的，我们的大脑在接收声音信号后会将这个信号分解，于是我们就会识别声音中有哪些是人的说话声，哪些是动物的叫声，哪些是汽车声音，哪些是噪音，于是我们就能得到对我们有用的信息，电子设备同样可以分解信号获得有用的信息，甚至可以过滤无用的信息。总之，分解对于信息的处理是很重要的。

既然分解的应用很重要，那么为什么要将周期函数分解为三角函数呢？为什么不分解为简单的周期函数呢？比如这样的锯齿波：

这里就要讨论正余弦函数的特殊性质，正余弦函数的微分和积分运算的结果以及同频率的正余弦函数的线性运算结果仍然还是正余弦函数，周期即频率不变，只有振幅和相位会发生变化，这叫做运算的形式不变性，而锯齿波、方波等不具有这样的性质，广义来讲复指数函数的运算具有形式不变性，正余弦函数是复指数函数中的一类。对于一个已知结构的系统，如果输入信号是正余弦信号，那么输出信号也是正余弦信号，并且很容易计算出来，对于线性系统来说，如果输入信号是周期信号，那么将它分解为正余弦信号，然后分别求解这些分量的输出信号，最后再线性叠加，就可以得到最终的输出信号。比如：

既然理解了傅里叶分解的重要性，那么傅里叶级数是如何来的呢？接下来讲傅里叶级数的推导过程，如果一个余弦函数为f(t)=cosω0t,其周期T=2π/ω0,另一个余弦函数cos2ω0t，角频率为2ω0，周期也是T，余弦函数cosnω0t，角频率为nω0，周期也是T，正弦函数也具有相同的性质。根据周期函数的性质，周期相同的周期函数的线性组合也是同周期的函数，比如f(t)=acosω0t+bcos2ω0t是周期为T=2π/ω0的周期函数，在加上一个常数也是如此，即f(t)=acosω0t+bcos2ω0t+c也是周期为T=2π/ω0的周期函数。根据这种思想，我们将所有周期相同但频率不同的正余弦函数组合在一起，构造成一个无穷级数：

这样的一个函数就是周期为T=2π/ω0的周期函数，其中，C为常数，an和bn为各频率余弦与正弦的系数，只要改变常数和各系数就可以表示不同的周期为T的函数。既然三角函数可以组合为周期函数，那么反过来，一个周期已知的周期函数是否可以这样分解呢？如果可以分解，那么只要计算出常数和各系数就可以分解出来，那么，计算常数和各系数就是一个关键问题。

要计算常数和各系数，首先要了解一些三角函数积分特征，如下，其中，n,m为正整数，T=2π/ω0。

将周期函数f(t)做一个积分：

于是，我们通过这样的一个积分，把常数项给算出来了，接下来计算各频率余弦的系数，构造一个积分：

上式中，如果n=0，那么

接下来就是计算各频率正弦系数，构造积分：

通过这方法，我们就能计算常数和所有的系数，这样一来，傅里叶级数的表达式就推导出来了，然而，不是所有的周期函数都可以这样分解，必须满足一定条件：在一个周期内绝对可积、第一类间断点数量有限、极值点有限、不存在第二类间断点，正切函数就不满足这个条件，所以虽然正切函数是周期函数，但不能分解为傅里叶级数。

也许有些人有疑问，锯齿波可以分解为傅里叶级数，但是锯齿波存在很多“折点”，函数图像中的“折点”是不可导的，而傅里叶级数是正余弦函数构成的，我们知道，正余弦函数在整个实数域都是可导的，那么这是否就矛盾呢？其实要解释这个问题不难，举个例子，有限个有理数之和一定是有理数，如果是无限个有理数之和呢？比如：

对于傅里叶级数，同样可以这样理解，有限个正余弦函数的线性组合，依然是实数域可导的，但无限个正余弦函数的线性组合，就可能会存在不可导点，这是无穷级数的一个特殊性质。