捷联惯导系统学习6.2(序贯滤波 )

序贯滤波(sequential Kalman filtering)
一种将高维数据量测更新降低为多个低维数量测更新的方法，有效降低矩阵的求逆计算量(通过把矩阵对角化，将对角拆开分开计算)
特别的对于如下方法求解求解状态增益误差阵即：
Pk−1=Pk/k−1−1+HkTRk−1Hk=Pk/k−1−1+[(Hk(1))T...(Hk(N))T][Rk(1)...0...Rk(k)...0...RkN][Hk(1)...Hk(N)]=Pk−1+(Hk(1))TRk(1)Hk(1)+...+(Hk(N))TRk(N)Hk(N)P_k^{-1}=P_{k/k-1}^{-1}+H_k^TR_k^{-1}H_k\\ =P^{-1}_{k/k-1}+\left[\begin{matrix} (H_k^{(1)})^T&...&(H_k^{(N)})^T\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} R_k^{(1)} &...&0\\ ...&R_k^{(k)}&...\\ 0&...&R_k^{N} \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} H_k^{(1)}\\ ...\\ H_k^{(N)} \end{matrix}\right] \\ =P_k^{-1}+(H_k^{(1)})^TR_k^{(1)}H_k^{(1)}+...+(H_k^{(N)})^TR_k^{(N)}H_k^{(N)}Pk−1=Pk/k−1−1+HkTRk−1Hk=Pk/k−1−1+[(Hk(1))T...(Hk(N))T]⎣⎢⎡Rk(1)...0...Rk(k)...0...RkN⎦⎥⎤⎣⎢⎡Hk(1)...Hk(N)⎦⎥⎤=Pk−1+(Hk(1))TRk(1)Hk(1)+...+(Hk(N))TRk(N)Hk(N)
使用Cholesky分解得到三角矩阵
因为 RkR_kRk是正定矩阵:
Rk=LkLkTR_k=L_kL^{T}_kRk=LkLkT
构造新的测量方程：
Lk−1Zk=Lk−1HkXk+Lk−1VkL_k^{-1}Z_k=L_k^{-1}H_kX_k+L_k^{-1}V_kLk−1Zk=Lk−1HkXk+Lk−1Vk
等价于：
Zk∗=Hk∗Xk+Vk∗Z^*_k=H^*_kX_k+V_k^*Zk∗=Hk∗Xk+Vk∗
Zk∗=Lk−1Zk,Hk∗=Lk−1Hk,Vk∗=Lk−1VkZ^*_k=L_k^{-1}Z_k,H^*_k=L_k^{-1}H_k,V_k^*=L_k^{-1}V_kZk∗=Lk−1Zk,Hk∗=Lk−1Hk,Vk∗=Lk−1Vk
一般kalman滤波过程

序贯滤波过程

利用N次最小二乘估计，进行N次递推最小二乘法，

替换内容：
Xk/k−1→Xk(0),Pk/k−1→Pk(0)X_{k/k-1}\rightarrow X_k^{(0)},P_{k/k-1}\rightarrow P_{k}^{(0)}Xk/k−1→Xk(0),Pk/k−1→Pk(0)
{Kk(1)=Pk(0)(Hk(0))T[Hk(N)Pk(0)(Hk(1))T+Rk(1)]−1X^k(1)=(I−KkHk(1))X^k(0)+KkZkPk(1)=(I−Kk(1)Hk(1))Pk(0)...{Kk(N)=Pk(N−1)(Hk(N−1))T[Hk(N)Pk(N−1)(Hk(N))T+Rk(N)]−1X^k(N)=(I−KkHk(N))X^k(N−1)+KkZkPk(N)=(I−Kk(N)Hk(N))Pk(N−1)\begin{cases} K_k^{(1)}=P_k^{(0)}(H_k^{(0)})^T[H_k^{(N)}P_k^{(0)}(H_k^{(1)})^T+R_k^{(1)}]^{-1}\\ \hat X_k^{(1)}=(I-K^{}_kH^{(1)}_k)\hat X_{k}^{(0)}+K_kZ_k\\ P_k^{(1)}=(I-K^{(1)}_kH^{(1)}_k)P_k^{(0)}\\ \end{cases} \\ ...\\ \begin{cases} K_k^{(N)}=P_k^{(N-1)}(H_k^{(N-1)})^T[H_k^{(N)}P_k^{(N-1)}(H_k^{(N)})^T+R_k^{(N)}]^{-1}\\ \hat X_k^{(N)}=(I-K^{}_kH^{(N)}_k)\hat X_{k}^{(N-1)}+K_kZ_k\\ P_k^{(N)}=(I-K^{(N)}_kH^{(N)}_k)P_k^{(N-1)}\\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧Kk(1)=Pk(0)(Hk(0))T[Hk(N)Pk(0)(Hk(1))T+Rk(1)]−1X^k(1)=(I−KkHk(1))X^k(0)+KkZkPk(1)=(I−Kk(1)Hk(1))Pk(0)...⎩⎪⎨⎪⎧Kk(N)=Pk(N−1)(Hk(N−1))T[Hk(N)Pk(N−1)(Hk(N))T+Rk(N)]−1X^k(N)=(I−KkHk(N))X^k(N−1)+KkZkPk(N)=(I−Kk(N)Hk(N))Pk(N−1)
X^k(N)→X^k,Pk(N)→Pk\hat X_k^{(N)}\rightarrow \hat X_k,P_{k}^{(N)}\rightarrow P_{k}X^k(N)→X^k,Pk(N)→Pk

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