捷联惯导系统学习2.5（等效旋转矢量微分方程的泰勒级数解）

在高精度的捷联惯导系统中，陀螺仪姿态的解算往往是通过采集一定时间内的角增量信息，
计算角增量信息计算出等效旋转矢量，在通过等效旋转矢量递推余弦阵或者四元数，完成姿态更新。

等效旋转矢量微分方程的泰勒级数解
利用泰勒级，计算出数角增量的等效旋转矢量。

二字样法：
假设：0-T时间（4元数更新时间段）内陀螺仪为线性输出即：
w(t)=a+2bt(t∈[0,T])w(t)=a+2bt( t\in[0,T])w(t)=a+2bt(t∈[0,T])

Δθ(t)=∫0tw(t′)dt′=at+bt2\Delta \theta(t)=\int_0^tw(t')dt'=at+bt^2Δθ(t)=∫0tw(t′)dt′=at+bt2
σ(t)=Δθ(t)×w(t)\sigma(t)=\Delta\theta(t)\times w(t)σ(t)=Δθ(t)×w(t)
Δθ(t)\Delta \theta(t)Δθ(t)(角输出增量,2阶导以上全部为零(证略));
σ(t)\sigma(t)σ(t)(不可交换误差修正量，4阶导以上全部为零(证略))
ϕ(t)=Δθ(t)+σ(t)\phi(t)=\Delta \theta(t)+\sigma(t)ϕ(t)=Δθ(t)+σ(t)
将ϕ(t)\phi(t)ϕ(t)在t=0初用泰勒级数展开
ϕ(t)=ϕ(0)+Tϕ˙(0)+T22!ϕ(0)′′+....=0+Ta+T2b+T36a×b\phi(t)=\phi(0)+T\dot\phi(0)+\frac{T^2}{2!}\phi(0)^{''}+....=0+Ta+T^2b+\frac{T^3}{6}a\times bϕ(t)=ϕ(0)+Tϕ˙(0)+2!T2ϕ(0)′′+....=0+Ta+T2b+6T3a×b
=Ta+T2b+T36a×b=Ta+T^2b+\frac{T^3}{6}a\times b=Ta+T2b+6T3a×b
为了求解a,b需要在一个四元数更新周期内进行两次采样：
Δθ1=∫0T/2w(t)dt=T2a+T24b\Delta\theta_1=\int_0^{T/2}w(t)dt=\frac{T}{2}a+\frac{T^2}{4}bΔθ1=∫0T/2w(t)dt=2Ta+4T2b
Δθ2=∫T/2Tw(t)dt=T2a+3T24b\Delta\theta_2=\int_{T/2}^{T}w(t)dt=\frac{T}{2}a+\frac{3T^2}{4}bΔθ2=∫T/2Tw(t)dt=2Ta+43T2b
ϕ(T)=Δθ1+Δθ2+23Δθ1×Δθ2\phi (T)=\Delta\theta_1+\Delta\theta_2+\frac{2}{3}\Delta\theta_1\times\Delta\theta_2ϕ(T)=Δθ1+Δθ2+32Δθ1×Δθ2
三字样法：
假设：0-T时间（4元数更新时间段）内陀螺仪为线性输出即：
w(t)=a+2bt+3ct2(t∈[0,T])w(t)=a+2bt+3ct^2( t\in[0,T])w(t)=a+2bt+3ct2(t∈[0,T])
需要在[0,T]内进行3次采样：
Δθ1=∫0T/3w(t)dt\Delta\theta_1=\int_0^{T/3}w(t)dtΔθ1=∫0T/3w(t)dt
Δθ2=∫T/323Tw(t)dt\Delta\theta_2=\int_{T/3}^{\frac{2}{3}T}w(t)dtΔθ2=∫T/332Tw(t)dt
Δθ3=∫23TTw(t)dt\Delta\theta_3=\int_{\frac{2}{3}T}^{T}w(t)dtΔθ3=∫32TTw(t)dt
ϕ(T)=Δθ1+Δθ2+Δθ3+3380Δθ1×Δθ3+5780Δθ1×Δθ2+5780Δθ2×Δθ3\phi (T)=\Delta\theta_1+\Delta\theta_2+\Delta\theta_3+\frac{33}{80}\Delta\theta_1\times\Delta\theta_3+\frac{57}{80}\Delta\theta_1\times\Delta\theta_2+\frac{57}{80}\Delta\theta_2\times\Delta\theta_3ϕ(T)=Δθ1+Δθ2+Δθ3+8033Δθ1×Δθ3+8057Δθ1×Δθ2+8057Δθ2×Δθ3
单字样法：（频率相同时精度与二子样法相同，频率更高）
需要知道前一周期角增量Δθ0\Delta\theta_0Δθ0
角速度输出为:
w(t)=a+2bt(t∈[−T,T])w(t)=a+2bt( t\in[-T,T])w(t)=a+2bt(t∈[−T,T])
ϕ(T)=Δθ1+112Δθ0×Δθ1\phi (T)=\Delta\theta_1+\frac{1}{12}\Delta\theta_0\times \Delta\theta_1ϕ(T)=Δθ1+121Δθ0×Δθ1

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