捷联惯导系统学习2.2(等效旋转矢量)
二 等效旋转矢量:
1 一些重要的三维矢量运算关系(证明请自己找)
$ u为单位矢量 ;u’是u的一阶导数$
(1):V1×(V2×V3)=(V1∗V3)V2−(V1∗V2)V3(1):V_1\times(V_2\times V_3)=(V_1*V_3)V_2-(V_1*V_2)V_3(1):V1×(V2×V3)=(V1∗V3)V2−(V1∗V2)V3
(2):(u×)(u′×)(u×)=(u′×)(u×)(u′×)=0(2):(u\times)(u'\times )(u\times)=(u'\times)(u\times )(u'\times)=0(2):(u×)(u′×)(u×)=(u′×)(u×)(u′×)=0
(3):(V2×)(V3×)=−(V1∗V2)+V2V1T(3):(V_2\times)( V_3\times)=-(V_1*V_2)+V_2V_1^T(3):(V2×)(V3×)=−(V1∗V2)+V2V1T
(4):(V1×)(V2×)−(V2×)(V1×)=V2V1T−V1V2T=(V1×V2)×(4):(V_1\times)( V_2\times)-(V_2\times)( V_1\times)=V_2V_1^T-V_1V_2^T=(V_1\times V_2)\times(4):(V1×)(V2×)−(V2×)(V1×)=V2V1T−V1V2T=(V1×V2)×
(5):V1∗(V2×V3)=V2∗(V3×V1)=V3∗(V1×V2)(5):V_1*(V_2\times V_3)=V_2*(V_3\times V_1)=V_3*(V_1\times V_2)(5):V1∗(V2×V3)=V2∗(V3×V1)=V3∗(V1×V2)
参数说明:u:作为旋转轴的单位矢量r:绕u旋转前的矢量 OA=rr':绕u旋转后的矢量 OA'=r'r//:r在u上的投影 OO'=rr//r//':r'在u上的投影 OO'=rr//'r⊥:r相对于u的垂直分量 r'⊥;r’相对于u的垂直分量θ :r与r'的夹角O'B⊥O'A: OB'=rxu
2 已知:(没看懂的把上边的图画一遍)
r=OO′→+O′A→=r//+r⊥r=\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'A}=r//+r⊥r=OO′+O′A=r//+r⊥
r⊥=O′B→×u=(r×u)ur⊥=\overrightarrow{O'B}\times u=(r\times u)ur⊥=O′B×u=(r×u)u
不难证明(将r’用r和u表示):
O′A′→=O′B→∗cosθ+O′A→∗sinθ\overrightarrow{O'A'}=\overrightarrow{O'B}*cos θ+\overrightarrow{O'A}*sin θO′A′=O′B∗cosθ+O′A∗sinθ
(A)r′=O′O→+O′A′→=(r∗u)u+(u×r)×u∗cosθ+u×r∗sinθ(A)r'=\overrightarrow{O'O}+\overrightarrow{O'A'}=(r*u)u+(u\times r)\times u*cos θ+u\times r*sin θ(A)r′=O′O+O′A′=(r∗u)u+(u×r)×u∗cosθ+u×r∗sinθ
罗德里格旋转公式(如果r;r’分别为两个坐标系的单位矢量;D就是过渡矩阵P)
已知:
三重矢积公式:V∗V∗V3=V×V×V3+v2∗V3;V*V*V_3=V\times V\times V_3+v^2*V_3;V∗V∗V3=V×V×V3+v2∗V3;
得到:r∗u∗u=u∗r∗u=(u×u)×r+v2∗r=(I+(u×)2)r;r*u*u=u*r*u=(u\times u)\times r+v^2*r=(I+(u\times)^2)r;r∗u∗u=u∗r∗u=(u×u)×r+v2∗r=(I+(u×)2)r;
带入公式:A
r′=r'=r′=O′O→+O′A′→=(r∗u)u+(u×r)×u∗cosθ+u×r∗sinθ\overrightarrow{O'O}+\overrightarrow{O'A'}=(r*u)u+(u\times r)\times u*cos θ+u\times r*sin θO′O+O′A′=(r∗u)u+(u×r)×u∗cosθ+u×r∗sinθ
=(I+(u×)2)r+(r×(u×u)−u×u×r)r∗cosθ+u×r∗sinθ=(I+(u\times)^2)r+(r\times(u\times u)-u\times u\times r)r*cosθ+u\times r*sin θ=(I+(u×)2)r+(r×(u×u)−u×u×r)r∗cosθ+u×r∗sinθ
=(I−sinθ∗(u×)+(1−cosθ)(u×)2)r=D∗r=(I-sin θ*(u\times)+(1-cosθ)(u\times)^2)r=D*r=(I−sinθ∗(u×)+(1−cosθ)(u×)2)r=D∗r
D=[I+sinθ∗(u×)+(1−cosθ)(u×)2](D为罗德里格旋转公式)D=[I+sin θ*(u\times)+(1-cosθ)(u\times)^2](D为罗德里格旋转公式)D=[I+sinθ∗(u×)+(1−cosθ)(u×)2](D为罗德里格旋转公式)
等效旋转矢量
φ=θ∗u(其中:φ=∣θ∣)φ=θ*u(其中:φ=|θ|)φ=θ∗u(其中:φ=∣θ∣)
当从坐标系b系到i系的时候 D=CbiD=C_b^iD=Cbi
将D用等效旋转矢量时表示如下u=φθu=\frac{φ}{θ}u=θφ:
D=Cbi=[I+sinθ∗(φ×)θ+(1−cosθ)(φ×)2θ2]=MRV(φ)D=C_b^i=[I+\frac{sinθ*(φ\times)}{θ}+\frac{(1-cosθ)(φ\times)^2}{θ^2}]=M_{RV}(φ)D=Cbi=[I+θsinθ∗(φ×)+θ2(1−cosθ)(φ×)2]=MRV(φ)
旋转矩阵(Givens矩阵)
取:φ1=[001]φ_1 =\left[ \begin{matrix} 0 & 0& 1 \\ \end{matrix} \right] φ1=[001]
φ2=[010]φ_2 =\left[ \begin{matrix} 0 & 1& 0 \\ \end{matrix} \right] φ2=[010]
φ3=[100]φ_3 =\left[ \begin{matrix} 1& 0& 0 \\ \end{matrix} \right] φ3=[100]
带入MRV(φM_{RV}(φMRV(φ)中得到三个矩阵,成为旋转矩阵(Gives矩阵)
求解等效旋转矢量
tr(Cbi)=λ1+λ2+λ3=1+2cosθtr(C_b^i)=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1+2cosθtr(Cbi)=λ1+λ2+λ3=1+2cosθ
Cbi−(Cbi)T=2sinθθ(φ×)C_b^i-(C_b^i)^T=2\frac {sinθ}{θ}(φ\times)Cbi−(Cbi)T=2θsinθ(φ×)
可得
θ=arcostr(Cbi)−12θ=arcos\frac{tr(C_b^i)-1}{2} θ=arcos2tr(Cbi)−1
φ×=θ2sinθ[Cbi−(Cbi)T]φ\times=\frac{θ}{2sinθ}[C_b^i-(C_b^i)^T] φ×=2sinθθ[Cbi−(Cbi)T]
利用φ×φ\timesφ×即可求得φφφ
捷联惯导系统学习2.2(等效旋转矢量)相关推荐
- 捷联惯导系统学习2.5(等效旋转矢量微分方程的泰勒级数解)
在高精度的捷联惯导系统中,陀螺仪姿态的解算往往是通过采集一定时间内的角增量信息, 计算角增量信息计算出等效旋转矢量,在通过等效旋转矢量递推余弦阵或者四元数,完成姿态更新. 等效旋转矢量微分方程的泰勒级 ...
- 捷联惯导系统学习4.1(惯导数值更新算法)
1 常用坐标系的定义 (1)地心惯性坐标系(i 系,inertial frame) 用oixiyizio_ix_iy_iz_ioixiyizi表示,原点以地球为中心, 原点oio_ioi在地 ...
- 捷联惯导系统学习7.5(低成本组合导航系统模型)
低成本组合导航系统模型 低精度MEMS惯性/卫星/地磁组合导航系统中,选择惯导系统的姿态失准角ϕ\phiϕ.速度误差δvn\delta v^nδvn.定位误差δpn\delta p^nδpn.陀螺仪相 ...
- 捷联惯导系统学习3.2(地球的正常重力场)
圆球模型下的地球重力 如图,重力为引力与离心力作用的共同结果,其中 引力:F=GMr2=ur2(G引力常数,M为地球质量,r为质点到地心距离)F=\frac{GM}{r^2}=\frac{u}{r^2 ...
- 捷联惯导系统学习6.1(一些卡尔曼滤波处理技术 )
噪声相关条件下的Kalman滤波 理想状态下的kalman需要系统噪声与测量噪声之间部不相关,如果测量噪声与系统噪声相关需要进行处理 噪声相关条件下的系统状态方程 Xk:n维状态向量X_k:n维状态向 ...
- 捷联惯导系统学习6.6(Sage-Husa自适应滤波 )
原理作用 只有准确的获得系统的结构参数和噪声统计特性参数,才能获得最优值的状态估计,实际中往往是不够准确的 可以使用量测输出(输出隐含了系统模型的某些信息)对系统系统模型进行重新估计. 量测噪声方差阵 ...
- 捷联惯导系统学习2.6(圆锥误差补偿多子样算法)
若圆锥运动的四元数更新方程为: Q(tm)=Q(Tm−1).Q(T)Q(t_m)=Q(T_{m-1}).Q(T)Q(tm)=Q(Tm−1).Q(T) ( ...四元数乘法) ( Q(T)Q(T)Q ...
- 捷联惯导系统学习2.5(等效旋转矢量微分方程)
已知三维旋转矢量关系如下:(证明略) 参数说明: ViV_iVi表示三维空间矢量 v=∣V∣=VVTv=|V|=\sqrt{VV^T}v=∣V∣=VVT表示矢量模值 uuu为与V同方向的单位矢量即 ...
- 捷联惯导系统学习6.2(序贯滤波 )
序贯滤波(sequential Kalman filtering) 一种将高维数据量测更新降低为多个低维数量测更新的方法,有效降低矩阵的求逆计算量(通过把矩阵对角化,将对角拆开分开计算) 特别的对于如 ...
最新文章
- Linux下Rsync+Inotify-tools实现数据实时同步
- harmonyos2.0三大技术特点,一文解析HarmonyOS的技术特性、子系统架构、四大技术特性...
- php怎么自定义设置打印区域,JavaScript_jQuery实现区域打印功能代码详解,使用CSS控制打印样式,需要设 - phpStudy...
- 独立磁盘冗余阵列:RAID
- [中国剩余定理]【学习笔记】
- 在EF4.1的DBContext中实现事务处理(BeginTransaction)和直接执行SQL语句的示例
- BIOS中未启用虚拟化支持系列~~例如:因此无法安装Hyper-V
- (项目笔记)opencv人脸识别
- Discuz模板的制作方法
- KDD 2022论文合集(持续更新中)
- Android人脸支付功能,终于来了,华为Mate20 Pro微信人脸支付功能已上线
- 基于FPGA的LVDS接口设计
- 个人应对冲突的五种策略
- 亚马逊云技术防范勒索病毒
- bash快捷键Quick bash shortcuts--用Enki学Linux系列(4)
- 【LDPC-11】基于QC-LDPC的CDR系统LDPC编码实现与matlab仿真验证
- 说小台芒本可儿傲娇又冷艳,也不看看颜值和身段?
- Source insight 4.0 显示右边文件
- 【前端作业系列】HTML基础点 , 训练表格(2022年6月17日作业)
- ubuntu 安装百度云客户端