捷联惯导系统学习3.2(地球的正常重力场)

圆球模型下的地球重力

如图，重力为引力与离心力作用的共同结果，其中
引力：F=GMr2=ur2（G引力常数，M为地球质量，r为质点到地心距离）F=\frac{GM}{r^2}=\frac{u}{r^2}（G引力常数，M为地球质量，r为质点到地心距离）F=r2GM=r2u（G引力常数，M为地球质量，r为质点到地心距离）
离心力：F′=w2RcosL(R为圆球半径，L为地球纬度)F'=w^2RcosL(R为圆球半径，L为地球纬度)F′=w2RcosL(R为圆球半径，L为地球纬度)
引力与离心力的夹角为π−L\pi-Lπ−L可以得到
ge=F−w2R(赤道上的重力大小)g_e=F-w^2R(赤道上的重力大小)ge=F−w2R(赤道上的重力大小)
w2Rge(赤道上的离心力与重力比)\frac{w^2R}{g_e}(赤道上的离心力与重力比)gew2R(赤道上的离心力与重力比)
gL≈ge(1+w2Rgesin2L)g_L\approx g_e(1+\frac{w^2R}{g_e}sin^2L)gL≈ge(1+gew2Rsin2L)

椭球模型下的地球重力（推导略）

Re：地球长半轴R_e：地球长半轴Re：地球长半轴
Rp：地球短半轴R_p：地球短半轴Rp：地球短半轴
ge:地球赤道重力g_e:地球赤道重力ge:地球赤道重力
gp:地球极点重力g_p:地球极点重力gp:地球极点重力
gL:为地理纬度L初椭球表面引力大小g_L:为地理纬度L初椭球表面引力大小gL:为地理纬度L初椭球表面引力大小
gL=Regecos2L+Rpgpsin2LRe2cos2L+Rp2sin2L（索密里安公式）g_L=\frac{R_eg_ecos^2L+R_pg_psin^2L}{\sqrt{R^2_ecos^2L+R_p^2sin^2L}}（索密里安公式）gL=Re2cos2L+Rp2sin2LRegecos2L+Rpgpsin2L（索密里安公式）
实际常用如下公式代替：
f（椭球扁率）f（椭球扁率）f（椭球扁率）
m=w2Reu/(ReRp)≈w2Regem=\frac{w^2R_e}{u/(R_eR_p)}\approx\frac{w^2Re}{ge}m=u/(ReRp)w2Re≈gew2Re
β1=18(2βf+f2)\beta_1=\frac{1}{8}(2\beta f+f^2)β1=81(2βf+f2)
β=52m−f\beta=\frac{5}{2}m-fβ=25m−f
gL=ge(1+β2sin2L−β1sin22L)g_L=ge(1+\beta^2 sin^2L-\beta_1sin^22L)gL=ge(1+β2sin2L−β1sin22L)
波斯坦系统（1901年）
gL=9.7803(1+0.005302sin2L−0.000007sin22L)(m/s2)g_L=9.7803(1+0.005302sin^2L-0.000007sin^22L)(m/s^2)gL=9.7803(1+0.005302sin2L−0.000007sin22L)(m/s2)
国际正常重力公式（1928）
gL=9.78049(1+0.0052884sin2L−0.0000059sin22L)(m/s2)g_L=9.78049(1+0.0052884sin^2L-0.0000059sin^22L)(m/s^2)gL=9.78049(1+0.0052884sin2L−0.0000059sin22L)(m/s2)
大地参考坐标系（1980）
gL=9.780327(1+0.00530224sin2L−0.00000585sin22L)(m/s2)g_L=9.780327(1+0.00530224sin^2L-0.00000585sin^22L)(m/s^2)gL=9.780327(1+0.00530224sin2L−0.00000585sin22L)(m/s2)
WGS-84（1987）大地坐标系|
gL=9.780325(1+0.00530240sin2L−0.00000582sin22L)(m/s2)g_L=9.780325(1+0.00530240sin^2L-0.00000582sin^22L)(m/s^2)gL=9.780325(1+0.00530240sin2L−0.00000582sin22L)(m/s2)

重力与高度关系

海大地坐标下点H(L,λ,h)H(L,\lambda,h)H(L,λ,h)的重力为：
β2≈2uR3(R地球半径m,u引力常数)\beta_2\approx 2\frac{u}{R^3}(R地球半径m,u引力常数)β2≈2R3u(R地球半径m,u引力常数)
gLH=g0(1+βsin2L+β1sin22L)−β2hg_{LH}=g_0(1+\beta sin^2L+\beta_1sin^22L)-\beta_2hgLH=g0(1+βsin2L+β1sin22L)−β2h
地理垂线与真垂线夹角为：
ξ=β3∗h∗sin2LgLH\xi=\frac{\beta_3*h*sin2L}{g_{LH}}ξ=gLHβ3∗h∗sin2L
将地理垂线与真垂线夹角投影到地理坐标系:
gg=[0−gLHsinξ−gLHcosξ]≈[0−βhsin2L−gLH]g^g=\left[\begin{matrix} 0\\ -g_{LH}sin\xi\\ -g_{LH}cos\xi\\ \end{matrix}\right]\approx \left[\begin{matrix} 0\\ -\beta hsin2L\\ -g_{LH}\\ \end{matrix}\right]gg=⎣⎡0−gLHsinξ−gLHcosξ⎦⎤≈⎣⎡0−βhsin2L−gLH⎦⎤