第0章复习与引申
第1章线性空间与线性变换
第2章内积空间和等距变换
第3章矩阵的相似标准形
第4章 Hermite二次型
第5章范数和矩阵函数
第6章广义逆矩阵

第4章 Hermite二次型

文章目录

第4章 Hermite二次型
- 1 H阵和正规阵
- 2 标准形
- - 共轭合同关系
  - Hermite二次型的标准形
- 3 惯性定理

1 H阵和正规阵

设A∈Cn×nA\in C^{n\times n}A∈Cn×n，定义一个复变量、复值函数：f(X)=XHAX=∑i,j=1naijx‾ixjf(X)=X^HAX=\sum_{i,j=1}^na_{ij}\overline x_i x_jf(X)=XHAX=∑i,j=1naijxixj，式中X=(x1,⋯,xn)TX=(x_1,\cdots,x_n)^TX=(x1,⋯,xn)T。可以证明f(X)∈R⟺AH=Af(X)\in R\iff A^H=Af(X)∈R⟺AH=A。

Hermite二次型的定义：若AH=A,A∈Cn×nA^H=A,A\in C^{n\times n}AH=A,A∈Cn×n，则AAA是Hermite矩阵，简称为HHH阵，这时的f(x)f(x)f(x)称为是Hermite二次型。

实对称矩阵的性质：

实对称阵的特征值都为实数；
实对称阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。
设AAA是实对称阵，则存在正交阵QQQ，使得QTAQQ^TAQQTAQ是对角阵。

H阵的性质：

H阵的特征值均是实数；
H阵的属于不同特征值的特征向量相互正交；
若A是H阵，则存在酉矩阵U，使得UHAUU^HAUUHAU是对角阵。

正规阵的定义：设A∈Cn×nA\in C^{n\times n}A∈Cn×n，若AHA=AAHA^HA=AA^HAHA=AAH，则称A是正规阵。

定理：A∈Cn×nA\in C^{n\times n}A∈Cn×n是正规阵⟺\iff⟺A酉相似于对角阵。（正规阵一定可对角化），且A有n个两两正交的单位向量

幂零阵：设A∈Cn×nA\in C^{n\times n}A∈Cn×n，存在kkk，使得Ak=OA^k=OAk=O。(特征值全为0)

2 标准形

共轭合同关系

若A,BA,BA,B都是HHH阵，且对∀X∈Cn,XHAX=XHBX\forall X\in C^{n},X^HAX=X^HBX∀X∈Cn,XHAX=XHBX，则A=BA=BA=B。（Hermite二次型由矩阵唯一确定）

设f(X)=XHAX,g(Y)=YHBY,Cf(X)=X^HAX,g(Y)=Y^HBY,Cf(X)=XHAX,g(Y)=YHBY,C是可逆阵，若在X=CYX=CYX=CY下，f(X)=g(Y)f(X)=g(Y)f(X)=g(Y)，则B=CHACB=C^HACB=CHAC。

共轭合同的定义：设A,BA,BA,B是HHH阵，若有可逆阵CCC，使得B=CHACB=C^HACB=CHAC，则称AAA与BBB是共轭合同的。

共轭合同的性质：

反身性，AAA与AAA共轭合同
对称性，若AAA与BBB共轭合同，则BBB与AAA共轭合同
传递性：若AAA与BBB、BBB与CCC共轭合同，则AAA与CCC共轭合同。

Hermite二次型的标准形

标准形的定义：设Hermite二次型f(X)f(X)f(X)在可逆线性变换下X=CYX=CYX=CY变成只含有平方项的形式：
g(Y)=d1y1y1‾+d2y2y2‾+⋯+dnynyn‾=d1∣y1∣2+d2∣y2∣2+⋯+dn∣yn∣2g(Y)=d_1y_1\overline{y_1}+d_2y_2\overline{y_2}+\cdots+d_ny_n\overline{y_n}\\ =d_1|y_1|^2+d_2|y_2|^2+\cdots+d_n|y_n|^2 g(Y)=d1y1y1+d2y2y2+⋯+dnynyn=d1∣y1∣2+d2∣y2∣2+⋯+dn∣yn∣2
则称g(Y)g(Y)g(Y)是f(X)f(X)f(X)的标准形。（一定存在，因此H阵一定酉相似于对角阵，所以可以令X=UY）

标准型的计算：配方法（初等变换法）；酉变换法

3 惯性定理

若f(X)f(X)f(X)在可逆线性变换X=CYX=CYX=CY下变成标准形：g(Y)=d1∣y1∣2+⋯+dp∣yp∣2−dp+1∣yp+1∣2−⋯−dr∣yr∣2g(Y)=d_1|y_1|^2+\cdots+d_p|y_p|^2-d_{p+1}|y_{p+1}|^2-\cdots-d_r|y_r|^2g(Y)=d1∣y1∣2+⋯+dp∣yp∣2−dp+1∣yp+1∣2−⋯−dr∣yr∣2。在可逆线性变换X=DZX=DZX=DZ下变成标准形：h(Z)=k1∣z1∣2+⋯+kq∣zq∣2−kq+1∣zq+1∣2−⋯−kr∣zr∣2h(Z)=k_1|z_1|^2+\cdots+k_q|z_q|^2-k_{q+1}|z_{q+1}|^2-\cdots-k_r|z_r|^2h(Z)=k1∣z1∣2+⋯+kq∣zq∣2−kq+1∣zq+1∣2−⋯−kr∣zr∣2，其中di,kid_i,k_idi,ki均大于0，则p=qp=qp=q。

定义：Hermite二次型的标准形中的正项个数称为其正惯性指数，负项个数称为其负惯性指数。

H阵的惯性定理：对于与H阵A共轭合同的两个对角阵，其正项、负项个数相同。（正惯性指数与负惯性指数相加为矩阵A的秩）

规范形：如果n×nn\times nn×nHermite矩阵A的正、负惯性指数分别是p,qp,qp,q，则A必定与矩阵(IpOOO−IqOOOO)\begin{pmatrix} I_p&O&O\\O&-I_q&O\\O&O&O\end{pmatrix}⎝⎛IpOOO−IqOOOO⎠⎞共轭合同，称次矩阵为A的规范形。

定理：若HHH阵A，B共轭合同⟺\iff⟺A，B有相同的正、负惯性指数。

4 有定性

**正定的定义：**设AAA是HHH阵，f(X)=XHAXf(X)=X^HAXf(X)=XHAX，若对∀X0≠θ,f(X0)>0\forall X_0\neq\theta,f(X_0)>0∀X0=θ,f(X0)>0，则称fff是正定的，AAA是正定的HHH阵。

判别方法：

矩阵D=diag(d1,d2,…,dn)D=diag(d_1,d_2,\dots,d_n)D=diag(d1,d2,…,dn)，则DDD是正定的⟺\iff⟺∀di>0\forall d_i>0∀di>0;
若H阵A、B共轭合同，则AAA正定⟺\iff⟺BBB正定。
若HHH阵A与D=diag(d1,d2,…,dn)D=diag(d_1,d_2,\dots,d_n)D=diag(d1,d2,…,dn)共轭合同，则AAA正定⟺\iff⟺∀di>0\forall d_i >0∀di>0。

正定的充要条件：

A是正定的；
A的特征值均大于0；
A与III共轭合同；
存在可逆阵P使得A=PHPA=P^HPA=PHP；
A的各顺序主子式均大于0。

其它有定性：

若对∀X0≠θ,f(X0)<0\forall X_0\neq\theta,f(X_0)<0∀X0=θ,f(X0)<0，则称fff是负定的，AAA是负定的HHH阵。
若对∀X0≠θ,f(X0)≥0\forall X_0\neq\theta,f(X_0)\geq0∀X0=θ,f(X0)≥0，则称fff是半正定的，AAA是半正定的HHH阵。
若对∀X0≠θ,f(X0)≤0\forall X_0\neq\theta,f(X_0)\leq0∀X0=θ,f(X0)≤0，则称fff是半负定的，AAA是半负定的HHH阵。

半正定的判别方法：

矩阵D=diag(d1,d2,…,dn)D=diag(d_1,d_2,\dots,d_n)D=diag(d1,d2,…,dn)，则DDD是半正定的⟺\iff⟺∀di≥0\forall d_i\geq0∀di≥0;
若H阵A、B共轭合同，则AAA半正定⟺\iff⟺BBB半正定。
若HHH阵A与D=diag(d1,d2,…,dn)D=diag(d_1,d_2,\dots,d_n)D=diag(d1,d2,…,dn)共轭合同，则AAA半正定⟺\iff⟺∀di≥0\forall d_i \geq 0∀di≥0。

半正定的充要条件：

A是半正定的；
A的特征值均大于等于0；
A与(IrO)\begin{pmatrix} I_r& \\ &O \end{pmatrix}(IrO)共轭合同；
存在矩阵阵P使得A=PHPA=P^HPA=PHP；
A的各主子式均大于0或等于0。

奇值分解定理：设AAA是秩为rrr的s×ns\times ns×n矩阵，则AHAA^HAAHA是秩为rrr的半正定矩阵，设其非零特征值为λ1,⋯,λr\lambda_1,\cdots,\lambda_rλ1,⋯,λr，令di=λid_i=\sqrt{\lambda_i}di=λi，D=diag{d1.d2,⋯,dr}D=diag\{d_1.d_2,\cdots,d_r\}D=diag{d1.d2,⋯,dr}，则一定存在sss阶酉矩阵UUU和nnn阶酉矩阵VVV，使得：
A=U(DOOO)VA=U\begin{pmatrix}D&O\\O&O \end{pmatrix}V A=U(DOOO)V
Rayleigh商：设AAA是HHH阵，∀x∈Cn,XHAX∈R\forall x\in C^n,X^HAX\in R∀x∈Cn,XHAX∈R,∀X≠θ\forall X\neq\theta∀X=θ，定义复变量实值函数：
R(X)=XHAXXHX=⟨AX,X⟩⟨X,X⟩R(X)=\frac{X^HAX}{X^HX}=\frac{\lang AX,X\rang}{\lang X,X\rang} R(X)=XHXXHAX=⟨X,X⟩⟨AX,X⟩
称RRR是A的Rayleigh商。

设A∈Cn×nA\in C^{n\times n}A∈Cn×n是H阵，λ1≤λ2≤…,λn\lambda_1\leq\lambda_2\leq\dots,\lambda_nλ1≤λ2≤…,λn是A的所有特征值，其中λ1=min⁡X≠θR(x)\lambda_1=\min_{X\neq\theta}R(x)λ1=minX=θR(x)，λn=max⁡X≠θR(x)\lambda_n=\max_{X\neq\theta}R(x)λn=maxX=θR(x)。

证：因为A是H阵，所有A有n个两两正交的单位特征向量

设η1,⋯,ηn\eta_1,\cdots,\eta_nη1,⋯,ηn是A相应于特征值的标准正交特征向量

于是 η1,⋯,ηn\eta_1,\cdots,\eta_nη1,⋯,ηn是标准正交基

只证：λ1=min⁡X≠θR(x)\lambda_1=\min_{X\neq\theta}R(x)λ1=minX=θR(x)

∀X∈Cn,∃k1,⋯,kn∈C,s.t.X=k1η1+⋯+knηn\forall X\in C^n,\exist k_1,\cdots,k_n\in C, s.t.X=k_1\eta_1+\cdots+k_n\eta_n∀X∈Cn,∃k1,⋯,kn∈C,s.t.X=k1η1+⋯+knηn

AX=k1Aη1+⋯+knAηn==k1λ1η1+⋯+knλnηnAX = k_1A\eta_1+\cdots+k_nA\eta_n== k_1\lambda_1\eta_1+\cdots+k_n\lambda_n\eta_nAX=k1Aη1+⋯+knAηn==k1λ1η1+⋯+knλnηn
AX,X⟩=k1λ1k‾1+k2λ2k‾2+⋯+knλnk‾n=λ1∣k1∣2+⋯+λn∣kn∣2≥λ1(∣k1∣2+⋯+∣kn∣2)=λ1<X,X>\begin{alignedat} \lang AX,X\rang&=k_1\lambda_1\overline k_1+k_2\lambda_2\overline k_2+\cdots+k_n\lambda_n\overline k_n\\ &=\lambda_1|k_1|^2+\cdots+\lambda_n|k_n|^2\\ &\geq\lambda_1(|k_1|^2+\cdots+|k_n|^2)\\ &=\lambda_1<X,X> \end{alignedat} AX,X⟩=k1λ1k1+k2λ2k2+⋯+knλnkn=λ1∣k1∣2+⋯+λn∣kn∣2≥λ1(∣k1∣2+⋯+∣kn∣2)=λ1<X,X> 所以λ1≤⟨AX,X⟩⟨X,X⟩=R(x)\lambda_1\leq\frac{\lang AX,X\rang}{\lang X,X\rang}=R(x)λ1≤⟨X,X⟩⟨AX,X⟩=R(x)

参考文献：工程矩阵理论，张明淳著

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