矩阵分析与多元统计II 二次型与二次曲面3 二次型及其标准形的定义

上一讲我们讨论了二次齐次函数、对称双线性函数之间的一一对应关系，这一讲我们从多项式的角度讨论二次齐次函数，给出二次型的概念及其标准形；下一讲介绍计算二次型的标准形的方法；下下讲介绍二次型的规范形；下下下讲介绍正定二次型；然后分别介绍二次型在分析中的应用、在解析几何中的应用。

定义1 VVV是数域FFF上的线性空间，∀x=(x1,⋯,xn)′∈V\forall x = (x_1,\cdots,x_n)'\in V∀x=(x1,⋯,xn)′∈V, 称二次齐次多项式
f(x)=∑i=1naiixi2+2∑i<jaijxixjf(x) = \sum_{i=1}^n a_{ii}x_i^2+2\sum_{i<j}a_{ij}x_ix_jf(x)=i=1∑naiixi2+2i<j∑aijxixj

为FFF上的一个nnn元二次型。当i<ji<ji<j时，
2aijxixj=aijxixj+aijxjxi2a_{ij}x_ix_j=a_{ij}x_ix_j+a_{ij}x_jx_i2aijxixj=aijxixj+aijxjxi

令aij=ajia_{ij}=a_{ji}aij=aji，
f(x)=∑i,j=1naijxixj=x′Axf(x) = \sum_{i,j = 1}^na_{ij}x_ix_j=x'Axf(x)=i,j=1∑naijxixj=x′Ax

其中A=[aij]n×nA=[a_{ij}]_{n \times n}A=[aij]n×n是一个对称矩阵，称AAA为二次型的矩阵。

定义2 假设∃C\exists C∃C, x=Cyx = Cyx=Cy，则称yyy是xxx的一组线性替换，如果det⁡C≠0\det C \ne 0detC=0，就称这个线性替换是非退化的。

定理1
1）假设f(x),g(y)f(x),g(y)f(x),g(y)是两个二次型，存在非退化的线性替换使得f(x)=g(y)f(x)=g(y)f(x)=g(y)的充要条件是它们的矩阵合同；
2）对任意二次型f(x)f(x)f(x)，存在非退化的线性替换使得
f(x)=∑i=1ndiyi2f(x) = \sum_{i=1}^n d_iy_i^2f(x)=i=1∑ndiyi2

定义3 称上式为二次型的标准形。下一讲介绍计算标准形的方法，这一讲剩余内容讨论定理1的证明。

证明定理1
记A,BA,BA,B为f(x),g(y)f(x),g(y)f(x),g(y)的矩阵。

评注1 矩阵的合同，假设A,BA,BA,B合同，则存在可逆矩阵CCC使得
C′AC=BC'AC=BC′AC=B

记为A≃BA \simeq BA≃B，可以验证合同关系是一种等价关系。

证明1)
必要性：假设存在非退化的线性替换x=Cyx = Cyx=Cy，则
f(x)=x′Ax=(Cy)′A(Cy)=y′(C′AC)y=y′By=g(y)f(x)=x'Ax = (Cy)'A(Cy) = y'(C'AC)y = y'By = g(y)f(x)=x′Ax=(Cy)′A(Cy)=y′(C′AC)y=y′By=g(y)

因此A≃BA \simeq BA≃B；

充分性：假设A≃BA \simeq BA≃B，存在可逆矩阵CCC，使得C′AC=BC'AC=BC′AC=B，从而
g(y)=y′By=y′C′ACy=(Cy)′A(Cy)=x′Ax=f(x)g(y)=y'By = y'C'ACy = (Cy)'A(Cy) = x'Ax = f(x)g(y)=y′By=y′C′ACy=(Cy)′A(Cy)=x′Ax=f(x)

如果x=Cyx = Cyx=Cy，显然f(x)=g(y)f(x)=g(y)f(x)=g(y)。

证明2) 根据下面的引理，结合1）可以得出2）成立。
引理对称矩阵与(唯一的)对角矩阵合同。我们简单证明一下这个引理。
根据谱定理（讨论矩阵分解时介绍，这是谱分解的基础），对任意Hermite矩阵AAA，存在由它的特征向量组成的标准正交基VVV，以及代数重数为1的实特征值，记Λ\LambdaΛ为一个对角阵，对角元为AAA的特征值，则
V−1AV=Λ=V′AVV^{-1}AV = \Lambda=V'AVV−1AV=Λ=V′AV

因此AAA与(唯一)对角阵合同。

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