对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵、合同矩阵、正定矩阵...

http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/50596604

看文献的时候，经常见到各种各样矩阵，本篇总结了常见的对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵七种矩阵的定义，作为概念备忘录吧，忘了可以随时查一下。

1、对称矩阵（文献【1】第40页）

其中上标T表示求矩阵的转置（文献【1】第38-39页）

2、Hermite矩阵（文献【2】第97页）

其中H表示求矩阵的复共轭转置：（文献【2】第96页）

Hermite阵是对称阵概念的推广，对称阵针对实矩阵（矩阵元素均为实数），Hermite阵针对复矩阵。

3、正交矩阵（文献【1】第115页）

4、酉矩阵（文献【2】第102页）

类似于Hermite阵相对于对称阵，酉矩阵是正交阵概念的推广。

5、奇异矩阵（文献【1】第43页）

6、正规矩阵（文献【2】第119页）

7、幂等矩阵（文献【2】第106-107页）

8、合同矩阵

合同矩阵：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得

则称方阵A与B合同，记作 A≃B。

对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。

在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。

9、正定矩阵

正定矩阵是一种实对称矩阵。正定二次型f(x1，x2，…，xn)=X′AX的矩阵A(或A的转置)称为正定矩阵。

（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

转载于:https://www.cnblogs.com/yuluoxingkong/p/8534563.html

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