Hermite二次型之H二次型

依然延续我们在Hermite二次型这个系列的第(1)篇文章中提到的那样，矩阵论中Hermite二次型的相关讨论大多可以直接借鉴在线性代数中的思路。

因此，要对H二次型进行讨论，也会将其转变成H阵的相关问题。

一. 相关结论与定义

对于H二次型以及和H阵之间的关系建立一个基本印象。

1. H二次型和H阵的对应关系：H矩阵唯一对应一个二次型

若A和B 都是H阵，且对任意X∈Cⁿ，X^HAX = X^HBX，则A = B

2. 可逆变换的两个二次型之间的H阵具有怎样的关系？

设f(X) = X^HAX，g(Y) = Y^HBY，C是可逆矩阵，若在X = CY下，f(X) = g(Y)，则有B = C^HAC

【证明】
将X = CY的关系代入到f(X)对应的二次型中，根据f(X) = g(Y)的等式关系，即可推出相应结论。

3. 共轭合同关系

共轭合同关系的提出也可以类比线性代数中“合同”的关系——若存在一个可逆矩阵C，使得B = C^TAC，则说矩阵A与矩阵B 合同。

所以可证：共轭合同关系也满足反身性，对称性，传递性。

反身性：I^HAI = A，I是单位阵，一定可逆

对称性：若存在一个可逆矩阵C，满足C^HAC = B，则有C^-HBC^-1 = A

传递性：存在可逆矩阵M，N，M^HAM = B，N^HBN = C，则C = N^HBN = N^HM^HAMN = (MN)^HA(MN)
p.s. 可逆矩阵的乘积依然是可逆矩阵

二. Hermite二次型的标准形

前面讨论相关结论和定理的时候就提到了，可以对二次型进行可逆的线性变换。

所以我们开始思考，能否找到一个合适的线性变换使得二次型变换后交叉项的系数全都化为0.

1. 标准形的定义

（1）Hermite二次型的标准形
对应的二次型交叉项系数全为零，只含有平方项，这样的二次型就称为标准形。

p.s. 对于任意一个二次型，其标准形的各项系数都应该为实数。

老师这里并没有论证为什么，我的理解是，每个二次型的标准形都是“唯一”的，而每个Hermite二次型的特征值都是实数，一个任意二次型到一个标准形的变化是可逆的，故不会改变其特征空间。

（2）Hermite矩阵的标准形

【强化】这里再强调一遍二次型和矩阵之间的对应关系

Hermite二次型的可逆线性变换 ↔ Hermite二次型对应的H阵进行共轭合同变换

如果对于一个H阵A，存在一个可逆矩阵C，使得C^HAC = Λ（对矩阵A进行共轭合同变换），其中Λ是一个对角阵，对角线上的元素就是上图中的d_i(i = 1,2,…n)。

那么我们就把这个对角阵Λ称作是A的标准形矩阵。

2. Hermite标准形的存在性

（1）问题描述：

形式①：对于任意给定的一个Hermite二次型，是否存在一个可逆的线性变换，将其变成相应的标准形？
形式②：对于任意给定的一个H矩阵A，是否存在一个可逆矩阵C，使得对A进行共轭合同变换可以得到一个对角阵呢？

（2）问题解决：

基本思路也可以沿用在线性代数中证明实矩阵的二次型存在的相关方法和定理。

①针对二次型使用配方法进行变换
②对H矩阵进行相应的初等变换
③定理应用

<在线性代数中>对于任意一个实对称矩阵A，一定存在一个正交矩阵C，使得C^TAC = Λ
<在矩阵论中>对于任意一个H矩阵A，一定存在一个酉矩阵C，使得C^HAC = Λ
p.s. 第二条定理可参考《【矩阵论】Hermite二次型(1)》中“H阵的性质”中的定理2与定理3的证明

3. 惯性定理

前面讨论过了标准形的存在性，现在就要来讨论标准形的唯一性了。

（1）通常意义上来说，一个二次型的标准形不是唯一的

比如在下图中，在框1中我们对f(x)这个二次型进行了可逆变换后得到了其关于y的标准形，各项系数为d_i。
但是在框2中我们可以用z对y进行整体代入，从而得到关于z的标准形，此时各项系数为4d_i。

从标准形的数值上来看，其结果是不同的，也就说可以得到不同的标准形。

（2）寻找不变量

正惯性指数：标准形各项系数中大于0的系数个数
负惯性指数：标准形各项系数中小于0的系数个数
秩：标准形各项系数中不为0的项数

上述定理告诉了我们，如果我们要求将一个二次型的标准形化成是对角线上元素只能取0或1或-1，那么任意一个二次型给出的标准形一定是唯一的。

4. 规范形

（1）定义

对于标准形对应的矩阵，可以进一步进行共轭合同变化，使矩阵的对角线上的元素只为0或1或-1.
这样的矩阵就称为原矩阵A的规范形。

其中，在得到的规范形矩阵中，+1的个数（也就是p）就是正惯性指数，q就是负惯性指数。

（2）定理

利用规范形来证明两个矩阵共轭合同的充要条件。

必要性是显然的，不再赘述。
现简单论述一下充分性。

因为A和B都有相同的正、负惯性指数，那么假设A和B的正负惯性指数分别为p和q，则：
A会和上图中所绘的规范形矩阵共轭合同
B也同样和上图中的规范形矩阵共轭合同。
因为共轭合同关系的对称性和传递性，可知矩阵A和B也是共轭合同的关系。

设上图的规范形矩阵为C，则可知A共轭合同于C,B共轭合同于C。
根据对称性，则C共轭合同于B
根据传递性，则A共轭合同于C共轭合同于B

注意：因为正惯性指数+负惯性指数 = 秩，这三者知二求一，所以定理中的“正惯性指数”、“负惯性指数”可以任意替换成这三个条件中的任意两个，定理依然成立。

【例】

先按照秩划分出n+1个大类，针对每一种秩的可能，再求解出正惯性指数可能的取值数，全部相加即为可能的情形总数。

三. Hermite二次型的正定性

H二次型的正定性讨论和实二次型的正定性讨论基本一致，此处不会再对定理进行证明。

1. 定义

2. 正定性判别方法

（1）对角阵的正定性判别

上图针对定理的必要性进行了简要解释：
已知矩阵D是正定的，要证明对角线上的每个元素都是正的，只需要取每一个基向量作为X₀，参与X₀^HDX₀的运算，得到的就是每个对角线上的元素值。

判定方法1在上图中是采用了H阵的方式进行描述，同样可以采用H二次型的语言进行描述：

一个二次型是正定的↔其任意平方项前的系数是正数。

（2）共轭合同关系不影响矩阵的正定性

本定理并未给出证明，但可以借助定理“两个相互共轭合同的矩阵具有相同的正惯性指数和负惯性指数”进行理解。
既然A和B都有相同的正(负)惯性指数了，那么如果A正定，就说明A的正惯性指数就为A的阶数，同样可得B的正惯性指数即为B的阶数，B就是正定的。

该判定方法同样可采用二次型的语言进行描述：

若有一个二次型f(X) = X^HAX,f(Y) = Y^HBY,如果存在一个可逆线性变换X = CY，使得f(X)恒等于g(Y)，则f(X)是正定的↔ g(Y)是正定的。

（3）可以借助对角阵来判断任意给定的矩阵的正定性

判定方法三实质上是一和二的一种综合。

3. 定理

（1）定理描述

（2）定理证明与理解

① ↔ ②

因为A是H阵，所以存在酉矩阵U，使得U^HAU = Λ，其中Λ这个对角阵的各对角线上的元素为A的特征值。

又因为A是正定的，且前一句话也体现了A和Λ是共轭合同的，根据判定条件3，可以知道Λ各对角线上的元素也应该是大于零，即A的特征值都是大于0的。

① ↔ ③

因为A是正定的，所以对于n阶方阵A来说，其正惯性指数为n。一个正惯性指数为n的规范形的形式就应该是主对角线上元素全为1，就是一个单位矩阵I。
所以A的规范形就是单位矩阵I，而一个矩阵和它的规范形肯定是共轭合同的。（定义）

①↔④ → ③↔④

要证明①和④的等价性，只需要证明③和④的等价性即可。
通过③已经知道A与I共轭合同，所以按照定义，存在一个可逆矩阵P，P^HIP = A,也就是A = P^HIP = P^HP
证毕

p.s. 上述的推理过程是等价的，意味着既可以从①推到④，也可以从④推到①。
还可以从定义的角度来证明从④可以推出①：

由上图，按照正定性的定义，对于任意一个非零向量Z₀，都应该满足Z₀^HAZ₀ >0，将A = P^HP代入，最后结果就是PZ₀向量的标准内积，要证明内积为正，只需要证明PZ₀不为零向量即可。

因为P是可逆矩阵，而Z₀也是一个非零向量，所以PZ₀的结果一定是P矩阵的列空间中的某个非零向量。
或者也可以用反证法推导，加入PZ₀ = θ，那么就有P^-1PZ₀ = P^-1θ = θ，即Z₀ = θ，产生矛盾。

（3）说明
这些等价定理也常常应用于判定某一个矩阵是否为正定矩阵，最常用的就是第②条（特征值）和第④条（A = P^HP）。

【例】

要求解某一矩阵的正定性时，首先先要证明该矩阵是否为H阵，我们只在H阵的范围内讨论所谓的正定性。

当k是实数的时候，上面的证明过程就完全成立。

因为A = I-kα^Hα，是关于矩阵α^Hα的一个矩阵多项式，要想求出A矩阵的特征值，首先要求出矩阵α^Hα的特征值。

根据以前我们做过的一道例题，矩阵α^Hα有一个n-1重的0特征值和另一个值为<α，α> = 1（因为||α|| = 1）的特征值。

在《【矩阵论】矩阵的相似标准型(1)》的二.3.(4)部分的例题求解有详细过程。

那么根据矩阵多项式的特点，可以得出矩阵A的特征值就应该是1-k和1（n-1重），要使得A是正定的，则所有的特征值都是正值，所以k<1且k∈R。

【例】

[1]：看到A是H阵，就会条件反射使用该定理——A可以通过酉变换成一个对角矩阵，因为正定，所以各对角元都是正数
[2]：构造一个对角阵Λ₁，现在想办法把A写成某个矩阵平方的形式。
[3]：令S = UΛ₁U^H,现在只需要证明S矩阵是正定的即可。

要证明一个矩阵是正定——
①S是H矩阵，根据定义有S^H = S
②S的特征值全为正数，因为S = UΛ₁U^H，所以S和Λ₁共轭合同，而Λ₁的对角元全是正数。

证毕。

【例】

因为A是正定的，所以A肯定是H阵。

因为A是H阵，所以A可以通过酉变换成对角阵，且因为证明，该对角阵上的主对角元全是正数。

U是酉矩阵，A也是酉矩阵，（酉矩阵的乘积依然是酉矩阵）所以对角阵Λ也是酉矩阵

按照定义，可知道Λ^HΛ = I,所以对角线上的元素全为1，即Λ = I。

最后，因为U^HAU = I → A = UIU^H=UU^H = I
证毕。

通过上述三个例题，读者应该已经建立了一个条件反射。
只要看到一个矩阵是H阵，就会想到可以用酉矩阵将其变成一个对角阵。如果这个矩阵还是正定的，那么对角阵的主对角线上的元素就应该全为正数。
之后的其他推导和证明都可以在这个对角阵上进行演算，计算更加方便。

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