正定负定半正定半负定

正定负定半正定半负定
- 1. 标量函数
- - 1.1 正定
  - 1.2 半正定
  - 1.3 负定
  - 1.4 半负定
  - 1.5 不定
- 2. 二次型函数
- 3. 矩阵
- - 3.1 负定矩阵
  - 3.2 正定矩阵
  - - 对称正定矩阵
    - Hermite正定矩阵
  - 3.3 实对称矩阵
  - Matlab 判定

正定负定半正定半负定

1. 标量函数

1.1 正定

关于标量函数 V(x)V(x)V(x) ，如果对于在域 QQQ 中的所有非零向量 xxx，有 V(x)>0V(x)>0V(x)>0，且在 x=0x=0x=0 有 V(x)=0V(x)=0V(x)=0，则在域 QQQ 内称标量函数 V(x)V(x)V(x) 为正定。

即仅当 x=0(x1=x2=0)x=0(x_1=x_2=0)x=0(x1=x2=0) 时有 V(x)=0V(x)=0V(x)=0，
其余 V(x)>0V(x)>0V(x)>0。

例如：V(x)=x12+2x22V(x)=x_1^2 + 2x_2^2V(x)=x12+2x22

1.2 半正定

如果标量函数 V(x)V(x)V(x) 除了在原点及某些状态等于零外，在域 QQQ 中的所有其它状态都为正，则标量函数 V(x)V(x)V(x) 为半正定。

即并不一定是 x=0x=0x=0 时才有 V(x)=0V(x)=0V(x)=0，
当 x1=−x2x_1 = -x_2x1=−x2 时就有 V(x)=0V(x)=0V(x)=0，
其余 V(x)>0V(x)>0V(x)>0。

例如：V(x)=(x1+x2)2V(x) = (x_1+x_2)^2V(x)=(x1+x2)2

1.3 负定

如果标量函数 −V(x)-V(x)−V(x) 是正定的，则标量函数 V(x)V(x)V(x) 为负定。

例如：V(x)=−(x12+2x22)V(x)=-(x_1^2 + 2x_2^2)V(x)=−(x12+2x22)

1.4 半负定

如果标量函数 −V(x)-V(x)−V(x) 是半正定的，则标量函数 V(x)V(x)V(x) 为半负定。

例如：V(x)=−(x1+x2)2V(x) = -(x_1+x_2)^2V(x)=−(x1+x2)2

1.5 不定

如果在域 QQQ 内，不论 QQQ 多么小，V(x)V(x)V(x) 既可以为正值也可以为负值。则标量函数 V(x)V(x)V(x) 称为不定。

例如：V(x)=x1x2+x22V(x) = x_1 x_2 + x_2^2V(x)=x1x2+x22

2. 二次型函数

设 V(x)V(x)V(x) 是一个二次型函数，即 V(x)=xTPxV(x)=x^TPxV(x)=xTPx，其中 PPP 为对称阵。当 x≠0x\ne 0x=0时，V(x)>0V(x)>0V(x)>0，则 V(x)V(x)V(x) 是正定的，因而矩阵 PPP 是正定的。

判断 V(x)V(x)V(x) 为正定的准则为 PPP 的所有主子行列式均大于零。
判断 V(x)V(x)V(x) 为负定的准则为 PPP 的各阶主子行列式 Δi\Delta_iΔi 满足：
Δi有：i=偶数，Δi>0;i=奇数，Δi<0。\Delta_i有： i=偶数，\Delta_i >0; i=奇数，\Delta_i<0。Δi有：i=偶数，Δi>0;i=奇数，Δi<0。

Ref: 浙江大学2020公开课【现代控制理论】

3. 矩阵

3.1 负定矩阵

实对称矩阵 AAA 是负定的，如果二次型 f(x1,x2,…,xn)=X′AXf(x_1,x_2,…, x_n )=X^′ AXf(x1,x2,…,xn)=X′AX 负定。

矩阵负定的充分必要条件是它的特征值都小于零。

若矩阵 AAA 是 nnn 阶负定矩阵，则 AAA 的偶数阶顺序主子式大于 0，奇数阶顺序主子式小于 0。

负定矩阵是矩阵类中的一种特殊矩阵，它在矩阵理论中占有重要地位。负定矩阵可以看成是与正定矩阵对应的概念，负定矩阵与正定矩阵有着许多相似的性质。

From: 负定矩阵-百度百科

3.2 正定矩阵

（1）广义定义：设 MMM 是 nnn 阶方阵，如果对任何非零向量 zzz ，都有 zTMz>0z^TMz> 0zTMz>0 ，其中 zTz^TzT 表示 zzz 的转置，就称 MMM 为正定矩阵。

例如：BBB 为 nnn 阶矩阵，EEE 为单位矩阵，aaa 为正实数。在 aaa 充分大时， aEaEaE + BBB 为正定矩阵。（ BBB 必须为对称阵）

（2）狭义定义：一个 nnn 阶的实对称矩阵 MMM 是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量 zzz ，都有 zTMz>0z^TMz> 0zTMz>0 。其中 zTz^TzT 表示 zzz 的转置。

对称正定矩阵

设 A∈Rn×nA\in R^{n\times n}A∈Rn×n ，若 A=ATA=A^TA=AT ，对任意的 0≠X∈Rn0\ne X\in R^n0=X∈Rn ，都有 XTAX>0X^TAX>0XTAX>0 ，则称 AAA 为对称正定矩阵。

Hermite正定矩阵

设 A∈Rn×nA\in R^{n\times n}A∈Rn×n ，若 A=A∗A=A^*A=A∗ ，对任意的 0≠X∈Cn0\ne X\in C^n0=X∈Cn ，都有 X∗AX>0X^*AX>0X∗AX>0 ，则称 AAA 为Hermite正定矩阵 [2] 。

From: 正定矩阵-百度百科

3.3 实对称矩阵

如果有 nnn 阶矩阵 AAA，其矩阵的元素都为实数，且矩阵 AAA 的转置等于其本身（aij=ajia_{ij}=a_{ji}aij=aji），( i,ji,ji,j 为元素的脚标），则称 AAA 为实对称矩阵。

Matlab 判定

Ref: 本主题介绍如何使用 chol 和 eig 函数来确定矩阵是否为对称正定矩阵（特征值全为正的对称矩阵）

From: 实对称矩阵-百度百科

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