离散数学（图论）学习笔记

第六章特殊的图

二部图：把G<V,E>的所有顶点V分成两部分V1和V2，G的每一条边的端点都是一个属于V1一个属于V2.

完全二部图：V1中的每个顶点都和V2中的相邻

二部图判断：

G中没有奇圈（边数是奇数的圈）<=>G是二部图

匹配：任意两条不相邻的边子集

极大匹配：任意添加一条边后不是匹配的匹配

最大匹配：边数最多的匹配

匹配数：最大匹配的边数

饱和点：一个匹配M中的点

完美匹配：G中每个顶点都是M的饱和点，则称G完美匹配

二部图中的匹配：

定义：G=<V1,V2,E>为二部图，|V1|<=|V2|,M是G的最大匹配

完备匹配：若V1中的点全是M的饱和点，则称M为G中V1到V2的完备匹配

完美匹配：当|V1|=|V2|时，完备匹配变成完美匹配

欧拉图：经过所有点，每条边一次的图

规定：平凡图是欧拉图

环不影响欧拉性

欧拉图的判断：

无向图G是欧拉图<=>G连通且无奇度顶点

无向图G是半欧拉图<=>G连通且恰有两个奇度顶点

有向图D是欧拉图<=>D连通且每个顶点入度=出度

有向图D是半欧拉图<=>D恰有两个奇度顶点

其中一个入度比出度大一，另一个入度比出度小一

其余点入度=出度

哈密顿图：经过每个顶点一次且仅一次的图

规定：平凡图是哈密顿图

环不影响哈密顿性

哈密顿图的判断：

1.无向哈密顿图G

充分条件：G是n（n>=3)阶无向简单图,任意两个不相邻的顶点度数和>=n => G是哈密顿图

必要条件：G是哈密顿图 => 任意不为空的点集v1，p(G-v1)<=|v1|

推论：1）.K r,s(完全二部图，|v1|=r,|v2|=s)当s>=r+1时不是哈密顿图

r>=2时，K r,r是哈密顿图，Kr,r+1不是哈密顿图

2）.G中有割点或桥，G不是哈密顿图

2.无向半哈密顿图G

充分条件：G是n（n>=3)阶无向简单图,任意两个不相邻的顶点度数和>=n-1 => G是半哈密顿图

3.有向哈密顿图D

充分条件：D是强连通竞赛图=>D是哈密顿图

（注释：竞赛图：任意两点恰有一条有向边）

4.有向半哈密顿图D

充分条件：D是n（n>=2)阶有向图,D的基图的生成子图有Kn=>D是半哈密顿图

(注释：基图：有向图去掉方向后的无向图；

生成子图：选所有点，部分边的图；）

平面图：（经过同构之后)边不相交的图

性质：1.K 5和K 3，3 不是平面图！(很重要）

2.K n(n>=5)和K n,m(n,m>=3) 不是平面图

3.平行边和环不影响图的平面性

极大平面图：任意两不相邻点之间添加一条边后-->非平面图

举例：K5删一条边，K3.3删一条边后的图

性质：1）极大平面图必连通

2）阶数>=3的极大平面图必没有割点或桥

3）阶数>=2的极大平面图的最小度数>=3

定理：n（n>=3)阶简单平面图是极大平面图<=>G连通且每个面次数=3

极小非平面图：任删一条边-->平面图

举例：K5，K3，3

性质：极小非平面图必为简单图

欧拉公式：设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则

n-m+r=2

推论：设G为n阶m条边r个面的平面图，连通分支个数为p，则

n-m+r=p+1

平面图性质：1.G为n阶m条边的平面图，每个面次数l>=3,则

m<=l*(n-2)/(l-2)

2.G为n阶m条边的平面图,连通分支个数为p，每个面次数l>=3,则

m<=l*(n-p-1)/(l-2)

同胚：G1和G2同构或者经过反复消去和插入（节点）后同构，则称G1与G2同胚

收缩：把图的两个节点合并成一个，中间的边消去

库拉图斯基定理：1.G中不含有与K5或者K3，3同胚的子图<=>G是平面图

2.G中无可收缩为K5或者K3，3的子图<=>G是平面图

平面图的对偶图：原图新图(对偶图）

面点

面边界边

桥环

环桥

性质：1.对偶图还是平面图（但是对偶的对偶不一定是）

2.对偶图是连通图

3.同构的平面图的对偶图不一定同构

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