n维向量及其运算

a = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) a=(x_1,x_2,...,x_n) a=(x1,x2,...,xn)是行向量， a = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) T a=(x_1,x_2,...,x_n)^T a=(x1,x2,...,xn)T是列向量，可视为 n ∗ 1 n*1 n∗1或 1 ∗ n 1*n 1∗n阶矩阵。向量一般指列向量
向量内积，点积：对应元素相乘，结果为数。记为 [ a , b ] [a,b] [a,b]
内积性质

[ a , b ] = [ b , a ] [a,b]=[b,a] [a,b]=[b,a]
[ a + b , y ] = [ a , y ] + [ b , y ] [a+b,y]=[a,y]+[b,y] [a+b,y]=[a,y]+[b,y]
[ k a , b ] = k [ a , b ] [ka,b]=k[a,b] [ka,b]=k[a,b]
[ a , a ] ≥ 0 [a,a] \geq0 [a,a]≥0，且仅当 a = 0 a=0 a=0时， [ a , a ] = 0 [a,a]=0 [a,a]=0

Schwarz不等式

[ a , b ] 2 ≤ [ a , a ] [ b , b ] {[a,b]}^2 \leq [a,a][b,b] [a,b]2≤[a,a][b,b]

向量长度或范数 [ a , a ] = a 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2 \sqrt{[a,a]}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2} [a,a] =a12+a22+...+an2 记为 ∣ a ∣ |a| ∣a∣

∣ a ∣ = 1 |a|=1 ∣a∣=1是单位向量

对于任意非零向量， < a , b > = a r c c o s [ a , b ] ∣ a ∣ ∣ b ∣ , 0 ≤ < a , b > ≤ π <a,b>=arccos{{[a,b]}\over |a||b|},0\leq <a,b>\leq \pi <a,b>=arccos∣a∣∣b∣[a,b],0≤<a,b>≤π为向量a,b的夹角

[ a , b ] = 0 [a,b]=0 [a,b]=0，则a,b正交

向量组的线性相关性

若干个同维向量组成的集合成为向量组。

零向量可以由任意向量组导出

线性方程 A x = b Ax=b Ax=b有解，当且仅当常向量b能由系数矩阵的A的列向量 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1,a_2,...,a_n a1,a2,...,an线性表示。

对向量组 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1,a_2,...,a_n a1,a2,...,an，如果存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k n k_1,k_2,...,k_n k1,k2,...,kn,使 a 1 k 1 + a 2 k 2 + . . . + a n k n = 0 a_1k_1+a_2k_2+...+a_nk_n=0 a1k1+a2k2+...+ankn=0，则称向量组 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1,a_2,...,a_n a1,a2,...,an线性相关，否则是线性无关。
线性无关的充要条件是：只要 a 1 k 1 + a 2 k 2 + . . . + a n k n = 0 a_1k_1+a_2k_2+...+a_nk_n=0 a1k1+a2k2+...+ankn=0，则必定
k 1 = k 2 = . . . = k n = 0 k_1=k_2=...=k_n=0 k1=k2=...=kn=0

向量组 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1,a_2,...,a_n a1,a2,...,an线性相关，则齐次方程组 x 1 a 1 + x 2 a 2 + . . . + x n a n = 0 x_1a_1+x_2a_2+...+x_na_n=0 x1a1+x2a2+...+xnan=0存在非零解

向量组 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1,a_2,...,a_n a1,a2,...,an线性无关，则齐次方程组 x 1 a 1 + x 2 a 2 + . . . + x n a n = 0 x_1a_1+x_2a_2+...+x_na_n=0 x1a1+x2a2+...+xnan=0只有零解

一个向量a线性相关，则 k a = 0 ( k ! = 0 ) ka=0(k!=0) ka=0(k!=0)，所以a=0
一个向量a线性无关，则 k a ! = 0 ( k ! = 0 ) ka!=0(k!=0) ka!=0(k!=0)，所以a!=0
两个向量线性相关，则两个向量共线

定义

一组两两正交的非零向量称为正交向量组。由单位向量组成的正交向量组称规范正交向量组。

定理

正交向量组必线性无关
若向量组部分线性相关，则整体线性相关
含有零向量的向量组必线性相关
线性无关的向量组每部分必线性无关
向量组线性相关的充要条件是至少有一个向量可以由其他向量线性表出。（不是每个向量都能被线性表出，只要有就可）
向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n a_1,a_2,a_3,...,a_n a1,a2,a3,...,an线性无关，向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n ， b a_1,a_2,a_3,...,a_n，b a1,a2,a3,...,an，b线性线性先关，则b可以由向量组 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n a_1,a_2,a_3,...,a_n a1,a2,a3,...,an线性表出，且系数唯一
线性无关的加长向量组也线性无关
无关加长无关，无关减短不定；相关加长不定，相关减短有关

线性组合系数可以为0，线性相关系数不能为0

向量组的秩

秩大的可以表示秩小的

A B = C AB=C AB=C

积的行向量是右边行向量线性表出，且线表系数组成左边矩阵
积的列向量是左边行向量线性表出，且线表系数组成右边矩阵
如果矩阵A经过初等行变化变化为矩阵B，则矩阵A，B的行向量组等价
如果矩阵A经初等列变化变化为矩阵B，则矩阵A，B的列向量组等价
正交矩阵的每行都是单位的，不同行之间是垂直的，列也相同

矩阵的秩

reference

东北大学线性代数mooc https://www.icourse163.org/course/NEU-1001638002

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