【离散数学】第二章 命题逻辑的推理理论
第二章 命题逻辑的推理理论
- 2.0学习目标
- 2.1范式
- 1.析取范式与合取范式
- 2.2主范式
- 一、小项
- 1.真值表法
- 2.等价演算法
- 二、大项
- 1.真值表法
- 2.等价演算法
- 三、主析取范式与主合取范式关系
- 2.3自然推理系统
- 一、直接推理
- 1.推理规则
- 2.推理定律
- 二、间接推理
- 1.间接推理方法之一 -----归谬法(反证法)
- 2.间接推理方法之二 -----CP规则
2.0学习目标
最重点:
- 主析取范式和主合取范式 (计算题)
- 命题推理有效证明(综合应用题)
一般重点:
- 小项、性质及编码
- 大项、性质及编码
非重点:
- 范式的数学思想
- 范式的性质
2.1范式
1.析取范式与合取范式
【简单析取式】:由一些命题变元或其否定构成的析取式
例如:¬p∨q, p∨¬q, p∨q,¬p,¬q都是简单析取式
【简单合取式】:由一些命题变元或其否定构成的合取式
例如:¬p∧q, p∧¬q, p∧q,¬p,¬q都是简单合取式
【合取范式】:由简单析取式的合取构成的公式
例如:A1∧A2∧A3∧A4…
【析取范式】:由简单合取式的析取构成的公式
例如:A1∨A2∨A3∨A4…
【例题】求命题公式(p∨q)↔p的析取范式和合取范式
- (p∨q)↔p
⇔ [¬(p∨q)∨p]∧[¬p∨(p∨q)] (1.消除→,↔)
⇔ [(¬p∧¬q)∨p]∧[¬p∨p∨q](2.¬取到括号内)
⇔ [(¬p∨p)∧(¬q∨p)]∧[¬p∨p∨q](分配律)
⇔ 1∧(¬q∨p)∧(1∨q)(排中律)
⇔ 1∧(¬q∨p)∧1(零律)(合取范式)
⇔ ¬q∨p(同一律)(析取范式)
⇔ (¬q∨p)(合取范式)
2.2主范式
一、小项
【小项或极小项】在简单的合取式中,每个变元及其否定不同时存在,两者之一必须出现且仅出现一次,叫布尔合取,也叫小项或极小项
- 两个命题变元p、q所构成的所有小项为: ¬p∧q, p∧¬q, p∧q,¬p∧¬q
- 三个命题变元(23=)8个小项
- 一般来说n个命题变元共有2n 个小项
三个命题变元所构成的小项及其编码:
小项:肯定:1,否定0
- m0=m000=¬P∧¬Q∧¬R
- m1=m001=¬P∧¬Q∧R
- m2=m010=¬P∧Q∧¬R
- m3=m011=¬P∧Q∧R
- m4=m100=P∧¬Q∧¬R
- m5=m101=P∧¬Q∧R
- m6=m110=P∧Q∧¬R
- m7=m111=P∧Q∧R
P | Q | R | m000 | m001 | m010 | m011 | m100 | m101 | m110 | m111 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
【小项性质 】
- 每个小项当其真值指派与编码相同时,其真值为T,其余情况都为F
- 任意两个不同小项的合取式永假(p∧¬p)
- 全体小项的析取式永真
【主析取范式】对于给定的命题公式,如果有一个他的等价公式,仅由小项的析取组成,该公式称为原公式的主析取范式,可以证明:任何命题公式都存在着与之等价的主析取范式
构造命题公式的主析取范式有如下两种办法:
- 真值表法
- 等价演算法
1.真值表法
【真值表法】即用真值表法求主析取范式
- 构造命题公式真值表
- 找出公式中的
成真指派
对应的小项- 这些小项的析取就是此公式的主析取范式
【计算题】用真值表法求(p→q)→r的主析取范式
p | q | r | p→q | (p→q)→r |
---|---|---|---|---|
T | T | T | T | T |
T | T | F | T | F |
T | F | T | F | T |
T | F | F | F | T |
F | T | T | T | T |
F | T | F | T | F |
F | F | T | T | T |
F | F | F | T | F |
主析取范式写法:
- m111∨m101∨m100∨m011∨m001
推荐
- (p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)
- m7∨m5 ∨m4 ∨m3 ∨m1
编码2进制转化10进制
- ∑(1,3,4,5,7)
二进制转十进制方法
- 111=1x22+1x21+1x20=7
- 101=1x22+0x21+1x20=5
- 100=1x22+0x21+0x20=4
- 011=0x22+1x21+1x20=3
- 001=0x22+0x21+1x20=1
2.等价演算法
【等价演算法】即用基本等价公式推出
- 化归为析取范式
- 消除→,↔
- ¬取到括号内
- 分配律
- 除去析取式中所有永假的简单合取式
- p∧¬q:(V0)
- 在简单合取式中,将重复出现的合取项和相同变元合并
- p∨ p:(p) ¬p∨¬p:(¬p)
- *在简单合取式中补入没有出现的命题变元及添加
∧(p∨¬p)
,再用分配律展开,最后合并相同的小项
- p, q, r:p∨ q
- p∨ q
- ⇔(p∨q)∧1
- ⇔(p∨q)∧(r∨¬r)
- ⇔(p∧q∧r)∨(p∧q∧ ¬r)
【计算题】用等价演算法求(p→q)→r的主析取范式
(p→q)→r
⇔ ¬(¬p∨q)∨r (条件等值式)(消除→,↔)
⇔(p∧¬q)∨r(双重否定律)(¬取到括号内)
⇔(p∨r)∧(¬q∨r) (分配律)
⇔ [(p∨r)∨(q∧¬q)]∧[(¬q∨r)∨(p∧¬p)] (矛盾律)(同一律)
⇔ [(p∨q∨r)∧(p∨¬q∨r)]∧[(p∨¬q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)](分配律)(交换律)
⇔ m000∧m010∧m010∧m110大项:肯定:0,否定1
⇔ m000∧m010∧m101
⇔ m0∧m2∧m6
⇔ m1∨m3∨m4∨m5∨m7(根据主合取范式与主析取范式的互补性,由上式直接得到主析取范式)
⇔ ∑(1,3,4,5,7)
二、大项
【大项或极大项】在简单的析取式中,每个变元及其否定不同时存在,两者之一必须出现且仅出现一次,叫布尔析取,也叫大项或极大项
- 两个命题变元p、q所构成的所有大项为: ¬p∨q, p∨¬q, p∨q,¬p∨¬q
- 三个命题变元(22=)4个大项
- 一般来说n个命题变元共有2n 个大项
三个命题变元所构成的大项及其编码:
大项:肯定:0,否定1
- m0=m111=¬P∨¬Q∨¬R
- m1=m110=¬P∨¬Q∨R
- m2=m101=¬P∨Q∨¬R
- m3=m100=¬P∨Q∨R
- m4=m011=P∨¬Q∨¬R
- m5=m010=P∨¬Q∨R
- m6=m001=P∨Q∨¬R
- m7=m000=P∨Q∨R
P | Q | R | m000 | m001 | m010 | m011 | m100 | m101 | m110 | m111 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
小项 | 编码 |
小项合取:肯定:1,否定0
|
大项 | 编码 |
大项析取:肯定:0,否定1
|
---|---|---|---|---|---|
m0 | m000 | ¬P∧¬Q∧¬R | m0 | m000 | P∨Q∨R |
m1 | m001 | ¬P∧¬Q∧R | m1 | m001 | P∨Q∨¬R |
m2 | m010 | ¬P∧Q∧¬R | m2 | m010 | P∨¬Q∨R |
m3 | m011 | ¬P∧Q∧R | m3 | m011 | P∨¬Q∨¬R |
m4 | m100 | P∧¬Q∧¬R | m4 | m100 | ¬P∨Q∨R |
m5 | m101 | P∧¬Q∧R | m5 | m101 | ¬P∨Q∨¬R |
m6 | m110 | P∧Q∧¬R | m6 | m110 | ¬P∨¬Q∨R |
m7 | m111 | P∧Q∧R | m7 | m111 | ¬P∨¬Q∨¬R |
【大项性质 】
- 每个大项当其真值指派与编码相同时,其真值为F,其余情况都为T
- 任意两个不同大项的析取式永真(p∨¬p)
- 全体大项的合取式永假
【主合取范式】对于给定的命题公式,如果有一个它的等价公式,仅由大项的合取组成,该公式称为原公式的主合取范式,可以证明:任何命题公式都存在着与之等价的主合取范式
构造命题公式的主析取范式有如下两种办法:
- 真值表法
- 等价演算法
1.真值表法
【真值表法】即用真值表法求主合取范式
- 构造命题公式真值表
- 找出公式中的
成假指派
对应的大项- 这些大项的合取就是此公式的主取合 范式
【计算题】用真值表法求(p→q)→r的主合取范式
p | q | r | p→q | (p→q)→r |
---|---|---|---|---|
T | T | T | T | T |
T | T | F | T | F |
T | F | T | F | T |
T | F | F | F | T |
F | T | T | T | T |
F | T | F | T | F |
F | F | T | T | T |
F | F | F | T | F |
主合取范式写法:
- m110∧m010∧m000
推荐
- (¬p∧¬q∧r)∧(p∧¬q∧r)∧(p∧q∧r)
- m6∨m2 ∨m0
编码2进制转化10进制
- ∏(0,2,6)
2.等价演算法
【等价演算法】即用基本等价公式推出
- 化归为合取范式
- 消除→,↔
- ¬取到括号内
- 分配律
- 除去合取范式中所有永真的简单析取式
- p∧¬q:(V0)
- 在简单析取式中,将重复出现的析取项和相同变元合并
- p∨ p:(p) ¬p∨¬p:(¬p)
- *在简单析取式中补入没有出现的命题变元及添加
∨(p∧¬p)
,再用分配律展开,最后合并相同的小项
- p, q, r:p∨ q
- p∨ q
- ⇔(p∨q)∧1
- ⇔(p∨q)∨(r∧¬r)
- ⇔(p∨q∨r)∧(p∨q∨ ¬r)
【计算题】用等价演算法求(p→q)→r的主合取范式
(p→q)→r
⇔ ¬(¬p∨q)∨r (条件等价式)
⇔(p∧¬q)∨r (双重否定律)(德摩根律)
⇔(p∨r )∧ (¬q∨r ) (分配律)
⇔[(p∨r )∨(p∧¬p)]∧[(¬q∨r )∨(p∧¬p)] (矛盾律)(同一律)
⇔[(p∨r∨ q)∧(p∨r ∨¬q)]∧[(¬q∨r∨p )∨(¬q∨r∨¬p) ] (分配律)
⇔[(p∨ q∨r)∧(p∨¬q∨r )]∧[(p∨¬q∨r )∨(¬p∨¬q∨r) ] (交换律)
⇔M000∧M010∧M010∧M110
⇔M000∧M010∧M110
⇔M0∧M2∧M6
⇔∏(0,2,6)
三、主析取范式与主合取范式关系
例:(p→q)→r
- 主析取范式:m1∨m3∨m4∨m5∨m7
- 主合取范式:M0∧M2∧M6
- 结论:同一公式中主析取范式中m下标与主合取范式下标是互补的
矛盾式无成真指派,因而主析取范式不含任何小项,将矛盾式的主析取范式记为0
永真式无成假指派,因而主析取范式含2n(n为命题公式变元的个数)个小项
例如:(p→q)→r ,3个,23=8
可满足式,主析取范式中的小项个数一定小于或等于2n
2.3自然推理系统
任何一个推理都是由前提和结论两部分组成
数理逻辑从形式结构上来研究推理的有效性
方法:
- 真值表法
- 等值演算法
- 主析(合)取范式
- 推理法:根据已知的等值公式和蕴涵式,利用推理公式证明
- 直接推理
- 间接推理
一、直接推理
1.推理规则
- P规则(前提引入规则):前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用
- T规则(结论引入规则):推理中,如果一个或多个公式,蕴含了公式S,则公式S可以引入到以后的推理之中
- 转换规则:在推导过程中的任何步骤上,命题公式中的子公式都可以用与之等价公式置换(¬p∨q⇔p→q)
2.推理定律
名称 | 公式 | 公式 | 公式 |
---|---|---|---|
1.附加律 | A ⇒ A∨B | ||
2.化简律 | A∧B ⇒ A | A∧B ⇒ B | |
*3.假言推理 | (A→B) ∧A⇒ B | ||
*4.拒取式 | (A→B) ∧ ¬B⇒ ¬A | ||
*5.条件(假言)三段论 | (A→B) ∧ (B→C)⇒(A→C) | ||
*6.析取三段论 | (A∨B) ∧ ¬B⇒A | (A∨B) ∧ ¬A⇒B | (A ∨¬B) ∧ B⇒A |
7.合取引入规则 | A ,B⇒(A ∧ B) |
【证明题】用直接推理法证明:(p→q)∧(q→r)∧p⇒r
证明: (p→q)∧(q→r)∧p⇒r
(1) p→q P规则
(2) p T规则
(3) q T(1)(2) 假言推理
(4) q→r P规则
(5) r T(3)(4) 假言推理
*【证明题】用直接推理法证明:(p∨q)∧(p→r)∧(q→s)⇒s∨r
证明: (p∨q)∧(p→r)∧(q→s)⇒s∨r
(1) p∨q P规则
(2) ¬q →p T(1) 等值互换 (条件等值式: ¬A∨B ⇔ A→B )
(3) p→r P规则
(4) ¬q→r T(2)(3) 条件(假言)三段论
(5) q→s P规则
(6) ¬s →¬q T(5)等值互换 (逆否命题)
(7)¬s →r T(4)(6) 条件(假言)三段论
(8)s∨r T(7) 等值互换 (条件等值式: ¬A∨B ⇔ A→B )
注意
p∨q (条件等值式: ¬A∨B ⇔ A→B )
¬q→p
二、间接推理
1.间接推理方法之一 -----归谬法(反证法)
设要证明H1∧H2∧H3…∧Hn⇒C ,其中H1,H2,H3,…,Hn, C是命题公式
- 令S⇔H1∧H2∧H3…∧Hn
- 则上式可以简化为 S⇒C
- 由蕴含的定义有 1⇔ S→C⇔¬S∨C
- 两边否定 0⇔ S∧¬C⇔H1∧H2∧H3…∧Hn∧¬C
- 上式等价下面两式:
0⇒ H1∧H2∧H3…∧Hn∧¬C (显然成立)
H1∧H2∧H3…∧Hn∧¬C⇒0- 所以要证明:H1∧H2∧H3…∧Hn⇒C 只需证明: H1∧H2∧H3…∧Hn∧¬C⇒0,其中, ¬C叫做附加前提。 这种间接推理方法称为归谬法,也称反证法
*【证明题】用归谬法证明:(p∧q)→r,¬p∨s,¬s,p⇒¬q
【反证法】
(1) q P规则(结论否定)
(2) ¬r∨s P规则
(3) ¬s P规则
(4) ¬r T(2)(3)析取三段论 (A∨B) ∧ ¬B⇒A (¬r∨s)∧ ¬s ⇒ ¬r
(5) (p∧q)→r P规则
(6) ¬(p∧q) T(4)(5) 条件等值式、排中律、同一律
(7) ¬p∨¬q T(6) 德摩根律
(8)p P规则
(9)¬q T(7) (8)矛盾律、同一律
(10)q ∧ ¬q T(1) (9)矛盾律
【证明题】用归谬法证明:(p∨q)∧(p→r)∧(q→s)⇒s∨r
反证法
(1) ¬(s∨r) P规则(结论否定)
(2) ¬s∧¬r T(1) 等值互换
(3)q→s P规则
(4)¬q∨s T(3) 等值互换
(5)p→r P规则
(6)¬p∨r T(5) 等值互换
(7) p∨q P规则
(8)¬p∨q T(7) 等值互换
(9)¬[(¬p∨q)∧(¬p∨r )∧(¬q∨s)]⇒¬s∧¬r
(10)
2.间接推理方法之二 -----CP规则
有时要证明的有效结论是一个条件命题,即要证明H1∧H2∧H3…∧Hn⇒(A→B)
- 令S⇔H1∧H2∧H3…∧Hn
- 则上式可以简化为 S⇒(A→B)
- 由蕴含的定义有
1⇔ S→(A→B)⇔¬S∨(¬A∨B)
⇔(¬S∨¬A)∨B
⇔(S∧A)→B
⇔H1∧H2∧H3…∧Hn∧A→B- 即 H1∧H2∧H3…∧Hn∧A→B
- 所以要证明:H1∧H2∧H3…∧Hn⇒(A→B)只需证明: H1∧H2∧H3…∧Hn∧A→B,其中, A叫做附加前提。 这种间接推理方法称为CP规则
【证明题】用CP规则证明:p→(q→r),¬t∨p, q⇒t→r
【证明】CP规则
(¬,∧,∨,→,↔,⇒, ⇔ )
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