命题逻辑的推理理论

1. 基本推理形式和蕴涵关系

1.1 基本推理形式

所谓推理，指的是从一组前提合乎逻辑地推理出结论的过程。在这里我们用命题公式来表达前提和结论。

定义：

设G1,G2,...，Gn,HG_1, G_2,...，G_n, HG1,G2,...，Gn,H是公式，称HHH是G1,G2,...,GnG_1, G_2,... , G_nG1,G2,...,Gn的逻辑结果当且仅***当对任意解释III，如果III使得G1∧G2∧...∧GnG_1 \land G_2\land...\land G_nG1∧G2∧...∧Gn为真，则III也会使H为真。记为G1,G2,...,Gn⇒HG_1,G_2,... ,G_n\Rightarrow HG1,G2,...,Gn⇒H。**“⇒\Rightarrow⇒”称为蕴涵关系。此时称G1,G2,...,Gn⇒HG_1, G_2,... , G_n\Rightarrow HG1,G2,...,Gn⇒H为有效的，否则称为无效的。G1,G2,...,GnG_1, G_2,... ,G_nG1,G2,...,Gn称为一组前提，有时用集合Γ\GammaΓ来表示，记为$\Gamma= {G_1, G_2,… ,G_n} ，，，H称为结论。此时也称称为结论。此时也称称为结论。此时也称H是前提集合是前提集合是前提集合\Gamma的逻辑结果。记为的逻辑结果。记为的逻辑结果。记为\Gamma→H$。

公理：

公式HHH是前提集合Γ={G1,G2,...,Gn}\Gamma = \{G_1,G_2,...,G_n\}Γ={G1,G2,...,Gn}的逻辑结果当且仅当(G1∧G2∧…∧Gn)→H(G_1\land G_2\land …\land G_n)\rightarrow H(G1∧G2∧…∧Gn)→H为永真式。

判定方法：

真值表技术
公式转换关系
主析取范式法——永真式的主析取范式应该包含有所有的极小项

1.2 基本蕴涵关系

定理：

设 G,H,IG, H, IG,H,I 为任意的命题公式。

(1) I1:G∧H⇒G;I2:G∧H⇒HI_{1}: G \wedge H \Rightarrow G ; \quad I_{2}: G \wedge H \Rightarrow HI1:G∧H⇒G;I2:G∧H⇒H. (简化规则)
(2) I3:G⇒G∨H;I4:H⇒G∨HI_{3}: G \Rightarrow G \vee H ; \quad I_{4}: H \Rightarrow G \vee HI3:G⇒G∨H;I4:H⇒G∨H. (添加规则)
(3) I5:I,H⇒G∧HI_5: I, H \Rightarrow G \wedge HI5:I,H⇒G∧H; (合取引入规则)
(4) I6:G∨H,¬G⇒H;I7:G∨H,¬H⇒GI_{6}: G \vee H, \neg G \Rightarrow H ; \quad I_{7}: G \vee H, \neg H \Rightarrow GI6:G∨H,¬G⇒H;I7:G∨H,¬H⇒G. (选言三段论)
(5) I8:G→H,G⇒HI_{8}: G \rightarrow H, G \Rightarrow HI8:G→H,G⇒H; (假言推理规则)
(6) I9:G→H,¬H⇒¬GI_{9}: G \rightarrow H, \neg H \Rightarrow \neg GI9:G→H,¬H⇒¬G; (否定后件式)
(7) I10:G→H,H→I⇒G→II_{10}: G \rightarrow H, H \rightarrow I \Rightarrow G \rightarrow II10:G→H,H→I⇒G→I; (假言三段论)
(8) I11:G∨H,G→I,H→I⇒II_{11}: G \vee H, G \rightarrow I, H \rightarrow I \Rightarrow II11:G∨H,G→I,H→I⇒I (二难推论)

Example：

2. 基本演绎法

2.1 推理规则

规则P（称为前提引用规则）：在推导的过程中，可以随时引入前提集合中的任意一个前提。

规则T（称为逻辑结果引用规则）：在推导的过程中，可以随时引入公式S，该公式S是由其前的一个或者多个公式推导出来的逻辑结果。

规则CP（称为附加前提规则）：如果能从给定的前提集合Γ\GammaΓ与公式P推导出来S，则能从前提集合Γ\GammaΓ推导出来S。

2.2 演绎法推论

2.2.1 自然演绎法

定义：

从前提集合Γ\GammaΓ推出结论HHH的一个演绎是构造命题公式的一个有限序列：H1,H2,H3,...,Hn−1,HnH_1, H_2, H_3,... ,H_{n-1},H_nH1,H2,H3,...,Hn−1,Hn。其中，HiH_iHi或者是Γ\GammaΓ中的某个前提,或者是前面的某些Hj(j<i)H_j(j<i)Hj(j<i)的有效结论，并且HHH，就是HHH，则称公式H为该演绎的有效结论，或者称从前提Γ\GammaΓ能够演绎出结论HHH来。

2.2.2 演绎

2.2.2.1 直接证明法

通常采用倒推的方式：

2.2.2.2 CP规则

2.2.2.3 间接证明法

反证法、归谬法

反证法可以认为是CP规则的一种变型。

2.3 推理的应用

离散数学复习：命题逻辑的推理理论相关推荐

离散数学-3 命题逻辑的推理理论
定义3.1 设A1, A2, -, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值,A1A2-Ak 为假,或当A1A2-Ak为真时,B也为真,则称由前提A1, A2, -, Ak推出结论B的推理 ...
【离散数学】数理逻辑第一章命题逻辑(7) 命题逻辑的推理理论
本文属于「离散数学」系列文章之一.这一系列着重于离散数学的学习和应用.由于内容随时可能发生更新变动,欢迎关注和收藏离散数学系列文章汇总目录一文以作备忘.此外,在本系列学习文章中,为了透彻理解数学知识, ...
第一部分数理逻辑第三章命题逻辑的推理理论
Chapter Three - 命题逻辑的推理理论 1 - 要点推理证明推理的形式结构的符号化形式:A₁∧A₂∧-∧Ak→B(*)如果(*)是重言式,则称推理是有效的,或称推理是正确的:如果(* ...
离散数学之数理结构推理理论
推理理论分为三种演绎法附加前提证明法归谬法其中的附加前提证明法.归谬法都是演绎法的扩展. 这里来说下演绎法前提知识: 推理定理: 还有用到一些等价的命题推论. 这样的化,就可以来推理了. 前 ...
离散数学__第2章命题逻辑的推理理论__真题讲解_(涉及对称差㊉)
2019年10月真题 27. 用等值演算法求命题(P↔Q) ∨ ￢R主合取范式, 并指出公式的类型. 分析: 要解答这个题目, 前提必须熟记 A ↔B ⇔ (￢A∨B) ∧( A∨￢B) A↔B ...
离散数学__第2章命题逻辑的推理理论__析取范式和合取范式
看一个命题公式: ￢P∨Q∨R 它既是由3个简单合取式构成的析取范式, 又是由1个简单析取式构成的合取范式. 定理1 范式存在定理: 任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式. 证明: 由 ...
离散数学6__第2章命题逻辑的推理理论
命题的标准化表示称为范式, 它能表达真值表所能提供的一切信息. 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式. 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式. 例如: P, ┐Q, P∨┐P, ┐P ∨ Q, ...
04 第三章命题逻辑的推理理论
离散数学与组合数学汇总文章目录 3.1 推理的形式结构推理的形式结构推理定律-重言蕴涵式 3.2 自然推理系统P 形式系统自然推理系统在自然推理系统P中构造证明直接证明法附加前提法归谬 ...
离散数学复习数理逻辑部分
文章目录前言数理逻辑 1.命题逻辑的基本概念 2.命题逻辑等值演算 a.基本等值式 b.复合联结词 3.命题逻辑的推理理论 a.推理定律 b.推理规则 c.推理方法 4.一阶逻辑的基本概念及等值演 ...

离散数学复习：命题逻辑的推理理论