矩阵的相似

定义：设A,BA,BA,B是两个nnn阶方阵，若存在n" role="presentation" style="position: relative;">nnn阶可逆矩阵PPP,使得P−1AP=B" role="presentation" style="position: relative;">P−1AP=BP−1AP=BP^{-1}AP=B，则称AAA相似于B" role="presentation" style="position: relative;">BBB，记成A∼BA∼BA\sim B

矩阵相似是一种等价关系
(1)(1)(1)A∼AA∼AA\sim A（反身性）
(2)(2)(2)若A∼BA∼BA\sim B,则B∼AB∼AB\sim A（对称性）
(3)(3)(3)若A∼B,B∼CA∼B,B∼CA\sim B,B\sim C则A∼CA∼CA\sim C（传递性）

相似矩阵的性质
(1)(1)(1)若A∼BA∼BA\sim B则有：

1∘:1∘:1^{\circ}:r(A)=r(B)r(A)=r(B)r(A)=r(B);
2∘:2∘:2^{\circ}:|A|=|B||A|=|B||A|=|B|;
3∘:3∘:3^{\circ}:|λE−A|=|λE−B||λE−A|=|λE−B||\lambda E-A|=|\lambda E-B|；
4∘:4∘:4^{\circ}:A,BA,BA,B有相同的特征值

(2)(2)(2)若A∼BA∼BA\sim B则有：
若Am∼Bm;f(A)∼f(B)Am∼Bm;f(A)∼f(B)A^m\sim B^m;f(A)\sim f(B)（其中f(x)f(x)f(x)是多项式）
(3)(3)(3)若A∼BA∼BA\sim B且AAA可逆，
则A−1∼B−1,f(A−1)∼f(B−1)" role="presentation" style="position: relative;">A−1∼B−1,f(A−1)∼f(B−1)A−1∼B−1,f(A−1)∼f(B−1)A^{-1}\sim B^{-1},f(A^{-1})\sim f(B^{-1})（其中f(x)f(x)f(x)是多项式）
(4)(4)(4)若P−1A1P=B1P−1A1P=B1P^{-1}A_1P=B_1，P−1A2P=B2P−1A2P=B2P^{-1}A_2P=B_2，
则P−1A1A2P=P−1A1PP−1A2PP−1A1A2P=P−1A1PP−1A2PP^{-1}A_1A_2P=P^{-1}A_1PP^{-1}A_2P即A1A2∼B1B2A1A2∼B1B2A_1A_2\sim B_1B_2
(5)(5)(5)P−1(k1A1+k2A2)P=k1P−1A1P+k2P−1A2PP−1(k1A1+k2A2)P=k1P−1A1P+k2P−1A2PP^{-1}(k_1A_1+k_2A_2)P=k_1P^{-1}A_1P+k_2P^{-1}A_2P

对称矩阵的对角化(方阵)

对称矩阵的一些性质：
1：对称矩阵的特征值为实数
2：设λ1λ1\lambda_1和λ2λ2\lambda_2是对称矩阵AAA的两个特征值，p1" role="presentation" style="position: relative;">p1p1\mathbf{p}_1，p2p2\mathbf{p}_2是对应的特征向量，若λ1≠λ2λ1≠λ2\lambda_1\neq\lambda_2,则p1p1\mathbf{p}_1和p2p2\mathbf{p}_2正交

定理：
设AAA为n" role="presentation" style="position: relative;">nnn阶对称矩阵，则必有正交矩阵PPP使得，P−1AP=PTAP=Λ" role="presentation" style="position: relative;">P−1AP=PTAP=ΛP−1AP=PTAP=ΛP^{-1}AP=P^{T}AP=\Lambda其中ΛΛ\Lambda是以AAA的n" role="presentation" style="position: relative;">nnn个特征值为对角元的对角矩阵

推论：
设AAA为n" role="presentation" style="position: relative;">nnn阶对称矩阵，λλ\lambda是AAA的特征方程的k" role="presentation" style="position: relative;">kkk重根，则矩阵A−λEA−λEA-\lambda E的秩R(A−λE)=n−kR(A−λE)=n−kR(A-\lambda E)=n-k，从而对应的特征值λλ\lambda恰好有kkk个线性无关的特征向量。

矩阵可以对角化的条件

若存在可逆矩阵P" role="presentation" style="position: relative;">PPP，使得P−1AP=ΛP−1AP=ΛP^{-1}AP=\Lambda，其中ΛΛ\Lambda是对角矩阵，则称AAA为可相似对角化，记A∼Λ" role="presentation" style="position: relative;">A∼ΛA∼ΛA\sim\Lambda，称ΛΛ\Lambda是AAA的相似标准型。

(1)" role="presentation" style="position: relative;">(1)(1)(1)nnn阶矩阵A∼Λ" role="presentation" style="position: relative;">A∼ΛA∼ΛA\sim\Lambda⇔⇔\Leftrightarrow有nnn个线性无关的特征向量

(2)" role="presentation" style="position: relative;">(2)(2)(2)矩阵AAA的属于不同的特征值的特征向量线性无关，若n" role="presentation" style="position: relative;">nnn阶矩阵AAA有n" role="presentation" style="position: relative;">nnn个不同的特征值，则AAA有n" role="presentation" style="position: relative;">nnn个线性无关的特征向量，于是A∼ΛA∼ΛA\sim\Lambda

(3)(3)(3)设λ0λ0\lambda_0是AAA的r" role="presentation" style="position: relative;">rrr重特征值，则AAA对应于λ0" role="presentation" style="position: relative;">λ0λ0\lambda_0的线性无关的特征向量的个数小于等于rrr.
矩阵A" role="presentation" style="position: relative;">AAA相似于对角矩阵⇔⇔\LeftrightarrowAAA的对应于每个ri" role="presentation" style="position: relative;">ririr_i重特征值都有ririr_i个线性无关的特征向量。

实对称矩阵必可相似于对角矩阵

(1)(1)(1)AAA是实对称矩阵，则A" role="presentation" style="position: relative;">AAA的特征值是实数，特征向量是实向量
(2)(2)(2)实对称矩阵AAA的属于不同特征值的特征向量相互正交
(3)" role="presentation" style="position: relative;">(3)(3)(3)实对称矩阵AAA必相似于对角矩阵，即必有n" role="presentation" style="position: relative;">nnn个线性无关的特征向量ξ1,ξ2,⋯,ξnξ1,ξ2,⋯,ξn\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n，即必有可逆矩阵P=[ξ1,ξ2,⋯,ξn]P=[ξ1,ξ2,⋯,ξn]P=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]使得P−1AP=ΛP−1AP=ΛP^{-1}AP=\Lambda，其中Λ=dig(λ1,λ2,⋯,λn)Λ=dig(λ1,λ2,⋯,λn)\Lambda=dig(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)，且存在正交矩阵QQQ，使得Q−1AQ=QTAQ=Λ" role="presentation" style="position: relative;">Q−1AQ=QTAQ=ΛQ−1AQ=QTAQ=ΛQ^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda,故AAA正交相似于A" role="presentation" style="position: relative;">AAA.

奇异值分解(不是方阵)

假设AAA是一个m×n" role="presentation" style="position: relative;">m×nm×nm\times n,其中m>nm>nm>n(这个假设只是为了方便，如果m<nm<nm，所有结论依然成立)。
我们给出一种方法，确定AAA是如何接近一个较小秩的矩阵。
这种方法包括将A" role="presentation" style="position: relative;">AAA分解为一个乘积UΣVTUΣVTU\Sigma V^T,其中UUU是一个m×m" role="presentation" style="position: relative;">m×mm×mm\times m的正交矩阵，VVV是一个n×n" role="presentation" style="position: relative;">n×nn×nn\times n的正交矩阵，ΣΣ\Sigma是一个m×nm×nm\times n的矩阵，其对角下的所有元素为000,且对角线元素满足

σ1≥σ2≥⋯≥σn≥0" role="presentation">σ1≥σ2≥⋯≥σn≥0σ1≥σ2≥⋯≥σn≥0

\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\geq\sigma_n\geq0

Σ=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜σ1σ2⋱σn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟Σ=(σ1σ2⋱σn)

\Sigma=\begin{pmatrix}\sigma_1&&&\\ &\sigma_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&\sigma_n\\\end{pmatrix}
采用这种因式分解得到的 σiσi\sigma_i是唯一的，并且称 AAA的奇异值。
因式分解UΣVT" role="presentation" style="position: relative;">UΣVTUΣVTU\Sigma V^T称为 AA<script type="math/tex" id="MathJax-Element-134">A</script>的奇异值分解

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