第五章 矩阵的相似对角化
矩阵的相似对角化
5.1 特征值与特征向量
1.特征值与特征向量的概念
设A是n阶矩阵，如果存在数 λ 0 \lambda_0 λ0和n维非零列向量 α \alpha α使得等式
A α = λ 0 α A\alpha=\lambda_0\alpha Aα=λ0α
成立，则称 λ 0 \lambda_0 λ0为矩阵A的一个特征值， α \alpha α为矩阵A属于特征值 λ 0 \lambda_0 λ0的特征向量。
2.特征值与特征向量的求法
设A为n阶矩阵，关于变量 λ \lambda λ的n次多项式 ∣ λ E − A ∣ = 0 | \lambda E-A|=0 ∣λE−A∣=0称为矩阵A的特征方程。
由上述分析与定义知，n阶矩阵A的特征值恰是特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda E-A|=0 ∣λE−A∣=0的根。由于一元n次方程（在复数范围）恰好有n个根，所以任意一个n阶矩阵恰好有n个特征值（可能有重复）如果 λ 0 \lambda_0 λ0是矩阵A的特征值，齐次线性方程组 ( λ 0 E − A ) x = 0 (\lambda_0 E -A)x=0 (λ0E−A)x=0的全部非零解就是矩阵A属于特征值 λ 0 \lambda_0 λ0的全部特征向量。
求矩阵的特征值的特征向量的计算步骤：
（1）计算矩阵A的特征多项式 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ f(\lambda)=|\lambda E-A| f(λ)=∣λE−A∣;
（2）求出特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda E-A|=0 ∣λE−A∣=0的全部根，它们就是矩阵A的全部特征值；
（3）对每一个特征值 λ 0 \lambda_0 λ0求出次线性方程 ( λ 0 E − A ) x = 0 基础解系 (\lambda_0E-A)x=0基础解系 (λ0E−A)x=0基础解系
α 1 , α 2 , . . . α t , \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_t, α1,α2,...αt,
则矩阵A属于特征值 λ 0 \lambda_0 λ0的全部特征向量为
k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k t α t , k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_t\alpha_t, k1α1+k2α2+...+ktαt,
其中， k 1 , k 2 , . . . , k t k_1,k_2,...,k_t k1,k2,...,kt是任意一组不全为零的常数。
3.特征值与特征向量的性质
（1）若 λ 0 \lambda_0 λ0是矩阵A的一个特征值， φ ( x ) \varphi(x) φ(x)是一个一元m次多项式，则 φ ( λ 0 ) \varphi(\lambda_0) φ(λ0)就是矩阵 Φ ( A ) \varPhi(A) Φ(A)的一个特征值。
（2）设n阶矩阵 A = ( a i j ) m ∗ n A=(a_{ij})_{m*n} A=(aij)m∗n的全部特征值是 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n λ1,λ2,...,λn则
λ 1 + λ 2 + . . . + λ n = a 11 + a 22 + . . . + a n n = t r ( A ) λ 1 λ 2 . . . λ n = ∣ A ∣ \lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}=tr(A)\\ \lambda_1\lambda_2...\lambda_n=|A| λ1+λ2+...+λn=a11+a22+...+ann=tr(A)λ1λ2...λn=∣A∣
这里记号tr(A)表示矩阵A的迹，其定义为A主对角线上的所有元素的和。
（3）设 λ 1 , λ 2 , . . . , λ m \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m λ1,λ2,...,λm是矩阵A互不相同的特征值，向量 α 1 , α 2 , . . . α m \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_m α1,α2,...αm是矩阵A依次属于 λ 1 , λ 2 , . . . λ m \lambda_1,\lambda_2,...\lambda_m λ1,λ2,...λm的特征向量，则向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m α1,α2,...,αm线性无关。
5.2相似矩阵与矩阵的对角化
1.相似矩阵的概念
设A，B都是n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B，则称矩阵A与B相似，记作 A ∽ B A\backsim B A∽B.
2.相似矩阵的性质
（1）矩阵的相似关系具用如下三条性质
- 1 反身性： A ∽ A A\backsim A A∽A
- 2 对称性：如果 A ∽ B A\backsim B A∽B，则 B ∽ A B\backsim A B∽A
- 3 传递性：如果 A ∽ B , B ∽ C A \backsim B,B\backsim C A∽B,B∽C,则 A ∽ C A\backsim C A∽C
（2）相似矩阵有相同的特征多项式。
（3）相似矩阵有相同的特征值。
（4）相似的矩阵具有相同的特征值，但具有相同特征值的矩阵不一定相似，此外相似的矩阵还有相同的秩，相同的迹，相同的行列式。
（5）若 A ∽ B A\backsim B A∽B,则 k A ∽ k B , A T ∽ B T , A k ∽ B k , A − 1 ∽ B − 1 , A ∗ ∽ B ∗ , f ( A ) ∽ f ( B ) kA\backsim kB,A^T\backsim B^T,A^k\backsim B^k,A^{-1}\backsim B^{-1},A^*\backsim B^*,f(A)\backsim f(B) kA∽kB,AT∽BT,Ak∽Bk,A−1∽B−1,A∗∽B∗,f(A)∽f(B)
（6）若存在可逆矩阵P，使 P − 1 A P = B P^{-1}AP = B P−1AP=B, ξ \xi ξ为A的属于A的属于特征值 λ \lambda λ的特征向量，则 λ \lambda λ也为B的特征值， P − 1 ξ P^{-1}\xi P−1ξ对应的特征向量。
3.矩阵可以相似对角化的条件
设A为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP为对角矩阵，称矩阵可以对角化，否则称矩阵A不能对角化。
（1）n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
（2）如果n阶矩阵A有n个互不相同的特征值，则A一定可以对角化。
事实上，n阶矩阵A属于不同特征值的特征向量线性无关，所以此时矩阵A有n个线性无关的特征向量，从而可以对角化。
设A为n阶矩阵 λ 1 , λ 2 , . . . , λ s \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_s λ1,λ2,...,λs是特征方程 ∣ λ A − A ∣ = 0 |\lambda A-A|=0 ∣λA−A∣=0的全部不同的根，它们的重数依次为 n 1 , n 2 , . . . , n s ( n 1 + n 2 + . . . + n s = n ) n_1,n_2,...,n_s(n_1+n_2+...+n_s=n) n1,n2,...,ns(n1+n2+...+ns=n)这时有如下结论：
（3）n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是对特征值 λ i ( 1 ⪕ i ⪕ s ) \lambda_i(1\eqslantless i \eqslantless s) λi(1⪕i⪕s)A有 n i n_i ni个属于特征值 λ i \lambda_i λi的线性无关的特征向量。
（4）若对某个 i ( 1 ⪕ i ⪕ s ) i(1\eqslantless i\eqslantless s) i(1⪕i⪕s),矩阵A属于特征值 λ i \lambda_i λi的线性无关的特征向量少于 n i n_i ni个，则矩阵A不能对角化。
4.将矩阵化为相似对角矩阵的方法
判断矩阵A能否对角化，在能对角化时将A对角化的计算步骤如下：
（1）写出矩阵A的特征多项式 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ f(\lambda)=|\lambda E-A| f(λ)=∣λE−A∣,由特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda E-A|=0 ∣λE−A∣=0求出A的全部特征值;
（2）若对某个特征值 λ 0 \lambda_0 λ0方程组 ( λ 0 E − A ) x = 0 (\lambda_0 E-A)x=0 (λ0E−A)x=0的基础解系中解向量的个数小于 λ 0 \lambda_0 λ0重数，则矩阵不能对角化。
（3）若对每个特征值 λ 1 \lambda_1 λ1，方程组 ( λ i E − A ) x = 0 (\lambda_i E-A)x=0 (λiE−A)x=0的基础解系中解向量的个数都等 λ i \lambda_i λi的重数 n i n_i ni,则矩阵可以对角化，这时属于特征值 λ i \lambda_i λi的线性无关的特征向量个数为 n i n_i ni，且 n 1 + n 2 + . . . + n s = n n_1+n_2+...+n_s=n n1+n2+...+ns=n用这些特征向构成矩阵P，则P可逆，且有 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP为对角矩阵A，其主对线上元素为矩阵A的特征，特征值的排序与P中特征向量的排序一致。
5.3实对称矩阵的对角化。
1.实对称矩阵特征值与特征向量的性质。
当n阶矩阵A为实矩阵时，其特征多项式 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ f(\lambda)=|\lambda E-A| f(λ)=∣λE−A∣为实系数多项式，但特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda E-A|=0 ∣λE−A∣=0的根,即矩阵A的特征值不一定是实数。而实对称矩阵的特征值一定是实数，并且一定可以对角化。
（1）实对称矩阵的特征值是实数。
（2）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定是正交的。
（3）对任意的n阶实对称矩阵A，存在n阶正交矩阵Q，使得
Q − 1 A Q = ∣ λ 1 , , , , λ 2 , , . . . , , , λ n ∣ Q^{-1}AQ=\left| \begin{matrix} \lambda_1,\ ,\ ,\ \\ \ ,\lambda_2,\ ,\ \\ ...\\ \ ,\ ,\ ,\lambda_n \end{matrix} \right| Q−1AQ= λ1, , , ,λ2, , ... , , ,λn
这里 λ 1 , λ 2 , . . . λ n \lambda_1,\lambda_2,...\lambda_n λ1,λ2,...λn是A的全部特征值.
- 用正交矩阵将实对称矩阵化为对角矩阵。
用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤如下:
(1)求出实对称矩阵A的全部不同特征值 λ 1 , λ 2 , . . . , λ s \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_s λ1,λ2,...,λs
(2)对每一个 λ i \lambda_i λi（i=1,2,…,s）求出 ( λ i E − A ) = 0 (\lambda_i E-A)=0 (λiE−A)=0
α i 1 , α i 2 , . . . α i n i \alpha_{i1},\alpha_{i2},...\alpha_{in_{i}} αi1,αi2,...αini
正交单位化之后（单根只需单位化）得到一个正交向量组
p i 1 , p i 2 , . . . , p i n i p_{i1},p_{i2},...,p_{in_{i}} pi1,pi2,...,pini
(3)令 Q = ( p 11 , . . p 1 n 1 , p 21 , . . . , p 2 n 2 , . . . , p s 1 , . . . , p s n s ) Q=(p_{11},..p_{1n_{1}},p_{21},...,p_{2n_{2}},...,p_{s1},...,p_{sn_{s}}) Q=(p11,..p1n1,p21,...,p2n2,...,ps1,...,psns)，则Q为正交矩阵，且 Q − 1 A Q Q^-1AQ Q−1AQ为对角矩阵，对角线上的元素为A的全部特征值，且特征值的排序与特征向量的排序相对应
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