一元三次方程重根判别式_一元三次方程的求根公式

一元二次方程的回顾和启示

学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程

$ax^2+bx+c=0,~a \neq 0$ ，通过配方可以得到

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$ ，根据判别式

$\Delta=b^2-4ac$ 的符号，可以判断方程实根的个数，并且可以得到求根公式

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\\$

要么是

$2$ 个不同的实根

$\Delta>0$ ，要么是

$1$ 个二重实根

$\Delta=0$ ，要么是

$1$ 对共轭虚根

$\Delta<0$ ；计算重数的情况下都是

$2$ 个根。

记两根为

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} ,~ x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\$

可以直接验证韦达定理：

两根之和

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ 以及两根之积

$x_1x_2=\frac{c}{a}$ ，判别式

$\Delta=a^2(x_1-x_2)^2$ .

求根公式看上去复杂，但如果把上述两式代入求根公式

$x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\left(-\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\frac{x_1-x_2}{2}\\$ .

注：如果

$x_1,~x_2$ 是共轭虚根，

$x_1-x_2$ 就是纯虚数，对负数

$\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2$ 开方不能得到

$\frac{|x_1-x_2|}{2}$ .

几何意义：记

$s=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2a}$ 是两根的平均值，乘积为

$p=x_1x_2=\frac{c}{a}$ . 如果

$x_1,~x_2$ 都是实根，则

$d=\frac{|x_1-x_2|}{2}=\sqrt{s^2-p}$ 是根到平均值的距离。

求根公式就可以改写成

$x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\left(-\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}=s\pm\sqrt{s^2-p}=s\pm d\\$

两根到平均值

$s$ 的距离

$d=\frac{|x_1-x_2|}{2}$ 还可以通过下列方式得到：

不妨设

$x_1=s+d,~ x_2=s-d$ ，用平方差公式得到

$(s+d)(s-d)=s^2-d^2=p$ ，立即可以算出

$d=\sqrt{s^2-p}$ .

可以看到在实根的情况下

$s=\frac{x_1+x_2}{2}$ 是实数轴上两根的中点，而

$d=\frac{|x_2-x_1|}{2}$ 是两根到中点的距离。

如果

$\Delta<0$ ，

$z_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i$ 和

$z_2=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i$ 是共轭虚根，绝对值(长度)相等

$s=\frac{z_1+z_2}{2}=-\frac{b}{2a}$ 在复平面上是

$z_1$ 和

$z_2$ 连线的中点(在实轴上)，刚好对应由

$z_1$ 和

$z_2$ 作为两邻边的菱形对角线的交点，是菱形水平方向对角线的一半，而

$d=\pm\frac{z_1-z_2}{2}=\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i$ 是中点到两根的有向距离，是菱形竖直方向对角线的一半。

如果考虑一般的复系数一元二次方程呢？任何两个复数

$z_1$ 和

$z_2$ 都可能是方程的两根，因为由韦达定理可以构造出

$z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0\\$

所以

$s=\frac{z_1+z_2}{2}$ 就是两根连线的中点，但不一定在实轴上，以

$z_1$ 和

$z_2$ 为邻边构成的是一个更一般的平行四边形，

$s$ 是对角线的交点，是其中一条对角线的一半，而

$d=\pm\frac{z_1-z_2}{2}$ 是交点到两根的有向距离，是另外一条对角线的一半。

一元三次方程根的构造

对于实系数一元三次方程

$ax^3+bx^2+cx+d=0,~a\neq 0$ ，自然会想能不能用配方法？

当然可以，只不过这里并不是配成完全平方而是配成完全立方：

$x^3+\frac{a}{b}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0\Leftrightarrow x^3+3\left( \frac{b}{3a}\right) x^2=-\frac{c}{a}x-\frac{d}{a}\\$

根据前两项两边同时加上

$3 \left(\frac{b}{3a}\right)^2x$ 和

$\left(\frac{b}{3a}\right)^3$ 可以把左边变成完全立方，也就是

$\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3=\frac{b^2-3ac}{3a^2}x+\frac{b^3-27a^2d}{27a^3} \\$

这时右边等于

$\frac{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)-\frac{b^3-3abc}{9a^3}+\frac{b^3-27a^2d}{27a^3}=\frac{b^2-3ac}{3a^2}\left(x+\frac{b}{3a}\right)+\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}$

有

$x$ 的一次项，不能像一元二次方程配方后可以直接开平方根得到方程的根。但这提示我们可以作变量替换

$t=x+\frac{b}{3a}$ 把根整体平移

$\frac{b}{3a}$ 个单位，得到更简单的没有2次项的方程

$t^3+\frac{3ac-b^2}{3a^2}t+\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}=0\\$

(或者用直接用待定系数法确定平移量)

令

$p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},~q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$ ，

方程简化为

$t^3+pt+q=0$ . 从这里可以看出，配方法能做到的只是消去比方程次数低一次的那项(次高次项)，结合韦达定理可以知道，只不过是找到了方程的三个根的平均值，做一个平移，让新得到的方程的三个根的平均值为0.

这里有很多种变量替换的方法求解

$t^3+pt+q=0$ .

一、卡尔达诺方法(Cardano's method)

引入两个新的变量

$u,~v$ 令

$t=u+v$ ，代入可得

$(u+v)^3+p(u+v)+q=0\Leftrightarrow u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0\\$

令

$3uv+p=0$ ，方程变为

$u^3+v^3+q=0$ .

只要

$u,~v$ 满足

$uv=-\frac{p}{3}$ 且

$u^3+v^3=-q$ ，那么

$t=u+v$ 就是

$t^3+pt+q=0$ 的根。

由第一个方程可得

$v=-\frac{p}{3u}$ ，代入第二个方程得

$u^3-\frac{p^3}{27u^3}+q=0$ .

两边同时乘以

$u^3$ 可得

$u^6+qu^3-\frac{p^3}{27}=0$ 是

$u^3$ 的一元二次方程，由求根公式可得

$u^3=-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}, ~v^3=-\frac{q}{2}\mp\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\\$

立方根有三个，这里取其中一个

$u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\$

由

$uv=-\frac{p}{3}$ 得对应的

$v$ 可以表示成

$v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\$

得到方程的一个根为

$t_1=u+v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\$

设

$\omega=e^{\frac{2\pi i}{3}}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 为单位原根满足

$\omega^3=1,~ \omega\neq1$ (

$\omega^2+\omega+1=0$ )，可以得到另外两个根分别为

$t_2=\omega u+\omega ^2v,~t_3=\omega^2u+\omega v$ .

注意到

$uv=-\frac{p}{3}$ ，

$t=u-\frac{p}{3u}$ ，因此也可以用下面的替换来推导出求根公式：

二、韦达替换(Vieta's substitution)

令

$t=w-\frac{p}{3w}$ ，代入可得

$\left(w-\frac{p}{3w}\right)^3+p\left(w-\frac{p}{3w}\right)+q=0\Leftrightarrow w^3-\frac{p^3}{27w^3}+q=0\\$

注意到

$w^6+qw^3-\frac{p^3}{27}=0$ 是

$w^3$ 的一元二次方程，所以

$w^3=-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\Rightarrow w=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\$

代回可得

$t=w-\frac{p}{3w}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\mp\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\$

上面两种办法都通过变量替换推导求根公式，经过长期解具体方程总结得出一般规律，比如发现三次方程的根可以表示成两个立方根之和，有了这个根的形式的预判，求根公式就呼之欲出了。再后来Lagrange通过离散傅立叶变换统一求解低次方程，但这方法无法推广到5次方程。

三、拉格朗日方法(Lagrange's Method)

对于一般的二次方程，根可以表示为：

$x_1=\frac{1}{2}[(x_1+x_2)+(x_1-x_2)]\\$

$x_2=\frac{1}{2}[(x_1+x_2)-(x_1-x_2)]\\$

其中

$x_1+x_2$ 是根的对称多项式，

$x_1-x_2$ 虽然本身不是，但平方后也是根的对称多项式，可以用基本对称多项式表出

$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$ . 再根据韦达定理，可以推出求根公式。

$x=\frac{1}{2}\left[x_1+x_2\pm\sqrt{(x_1-x_2)^2}\right]\\$

对于一般的一元三次方程，记

$\omega=e^{\frac{2\pi i}{3}}$ ，根可以表示为：

$x_1=\frac{1}{3}[(x_1+x_2+x_3)+(x_1+\omega x_2+\omega^2x_3)+(x_1+\omega^2x_2+\omega x_3)]$

$x_2=\frac{1}{3}[(x_1+x_2+x_3)+\omega^2(x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3)+\omega(x_1+\omega^2x_2+\omega x_3)]$

$x_3=\frac{1}{3}[(x_1+x_2+x_3)+\omega(x_1+\omega x_2+\omega^2x_3)+\omega^2(x_1+\omega^2 x_2+\omega x_3)]$

$s_1=x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3$ 和

$s_2=x_1+\omega^2 x_2+\omega x_3$ 本身不是对称多项式，但两者立方后得到

$s_1^3=x_1^3+x_2^3+x_3^3+3\omega(x_1^2x_2+x_2^2x_3+x_3^2x_1)+3\omega^2(x_1x_2^2+x_2x_3^3+x_3x_1^2)+6x_1x_2x_3$

$s_2^3=x_1^3+x_2^3+x_3^3+3\omega^2(x_1^2x_2+x_2^2x_3+x_3^2x_1)+3\omega(x_1x_2^2+x_2x_3^3+x_3x_1^2)+6x_1x_2x_3$

然后两者相加可得立方和

$s_1^3+s_2^3 =2(x_1^3+x_2^3+x_3^3)-3(x_1^2 x_2+ x_1x_2^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2+x_3^2x_1+x_3x_1^2)+12x_1x_2x_3$

是根的对称多项式，乘积

$s_1s_2=x_1^2+x_2^2+x_3^2-(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)$

是根的对称多项式，乘积的立方

$s_1^3s_2^3=(s_1s_2)^3$ 也是根的对称多项式。

对于一般的一元三次方程

$ax^3+bx^2+cx+d=0,~a\neq 0$ ，

对称多项式

$s_1^3+s_2^3$ 和

$s_1^3s_2^3$ 可以由基本对称多项式

$\sigma_1=x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$

$\sigma_2=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a}$

$\sigma_3=x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$

多项式表出，因此是方程系数的多项式。

也就是存在多项式

$P$ 和

$Q$ 使得

$s_1^3+s_2^3=P(a,b,c,d)$ 和

$s_1^3s_2^3=Q(a,b,c,d)$ . 容易看出

$s_1^3$ 和

$s_2^3$ 是一元二次方程

$z^2-Pz+Q=0$ (预解式)的两根，可以用二次方程求根公式得到，再代回下列三式就可以得到三次方程的三个根：

$x_1=\frac{1}{3}\left[x_1+x_2+x_3+\sqrt[3]{(x_1+\omega x_2+\omega^2x_3)^3}+\sqrt[3]{(x_1+\omega x_2+\omega^2x_3)^3}\right]$

$x_2=\frac{1}{3}\left[x_1+x_2+x_3+\omega\sqrt[3]{(x_1+\omega x_2+\omega^2x_3)^3}+\omega^2\sqrt[3]{(x_1+\omega x_2+\omega^2x_3)^3}\right]$

$x_3=\frac{1}{3}\left[x_1+x_2+x_3+\omega^2\sqrt[3]{(x_1+\omega x_2+\omega^2x_3)^3}+\omega\sqrt[3]{(x_1+\omega x_2+\omega^2x_3)^3}\right]$

对于约简后的一元三次方程

$t^3+pt+q=0$ ，和Cardano和Vieta方法殊途同归，得到相同的求根公式。

$t_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$

$t_2=\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$

$t_3=\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$

把

$p,~q$ 都用根表示代进去化简，可以得到平方根下的表达式为

$\begin{align} &\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27} =\frac{t_1^2t_2^2t_3^2}{4}+\frac{(t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1)^3}{27}\\ =&\frac{t_1^2t_2^2(t_1+t_2)^2}{4}+\frac{[t_1t_2-(t_1+t_2)^2]^3}{27}\\ =&\frac{4t_1^3t_2^3+15t_1^2t_2^2(t_1+t_2)^2+12 t_1 t_2(t_1+t_2)^4-4(t_1+t_2)^6}{108} \end{align}$

$\begin{align} \Delta=&(t_1-t_2)^2(t_2-t_3)^2(t_3-t_1)^2=(t_1-t_2)^2(2t_2+t_1)^2(2t_1+t_2)^2\\ =&[(t_1+t_2)^2-4t_1t_2][2(t_1+t_2)^2+t_1t_2]^2\\ =&[(t_1+t_2)^2-4t_1t_2][4(t_1+t_2)^4+4t_1t_2(t_1+t_2)^2+t_1^2t_2^2]\\ =&4(t_1+t_2)^6-12t_1t_2(t_1+t_2)^4-15t_1^2t_2^2(t_1+t_2)^2-4t_1^3t_2^3 \end{align}$

展开后刚好是

$\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}$ 的分子的相反数，也就是

$\Delta=-(4p^3+27q^2)$ ，称之为方程的判别式，可以用来判断方程是否有重根。

如果

$\Delta=0$ ，

$4p^3+27q^2=0$ ，非实的复根一定成对出现，所以只可能是实根是重根，剩下一个根也不可能是非实的复根，所以三个根都是实根；最特殊的情况是1个三重实根(

$p=q=0$ )。

如果

$\Delta<0$ ，

$4p^3+27q^2>0$ ，一定是只有1个实根，两个非实的共轭复根；

如果

$\Delta>0$ ，

$4p^3+27q^2<0$ ，一定是3个不同实根。

对于一般的三次方程

$ax^3+bx^2+cx+d=0$ ，判别式

$\Delta=a^4(x_1-x_2)^2(x_2-x_3)^2(x_3-x_1)^2=18abcd+b^2c^2-27a^2d^2-4ac^3-4b^3d$

四、三角解法 (Trigonometric Method) 和几何意义

如果实系数方程

$t^3+pt+q=0$ 有三个不同的实根 (

$\Delta>0,~4p^3+27q^2=-\Delta<0$ ，一定有

$p<0$ )，用求根公式表示出来会有虚数

$\sqrt{\frac{p^2}{4}+\frac{q^3}{27}}=\sqrt{-\frac{\Delta}{108}}=\frac{i\sqrt{3\Delta}}{18}\\$

但如果用三角函数表示出来，不仅可以避免复数，还可以看出三个根的分布。

为了利用三倍角公式

$\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ ，待定系数可设

$t=u\cos\theta$ ，

代入可得

$u^3\cos^3\theta+pu\cos\theta+q=0$ ，

只需要满足系数成比例，也就是

$\frac{u^3}{pu}=\frac{4}{-3}$ ，解得

$u=2\sqrt{-\frac{p}{3}}>0$ .

原方程变为

$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta=\frac{3q}{2p}\sqrt{-\frac{3}{p}}$ .

$\theta_k=\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{-\frac{3}{p}}\right)-\frac{2k\pi}{3},~k=0,1,2$ .

当然也可以取为

$\overline{\theta_k}=-\theta_k, ~k=0,1,2.$

$t_k=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\theta_k, ~k=0,1,2.$

圆心在y轴上任意一点，半径为

$r=2\sqrt{-\frac{p}{3}}$ 的圆上，三个点分别对应

$\theta_k,~k=0,1,2$ ，三个根是这三个点在横轴上的投影。对于一般情形圆心需要平移

$-\frac{b}{3a}$ ，刚好在三次函数

$y=ax^3+bx^2+cx+d$ 图像的拐点处。

方程有3个不同的实的单根，对应函数图像与横轴的3个交点(均斜穿过横轴)；函数图像有2个转折点(turning points)，对应一个局部最大和一个局部最小。

五、三次函数的图像

三次函数

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 转折点的数量取决于其导函数

$f'(x)=3ax^2+2bx+c$ 的判别式

$4b^2-12ac$ .

或者通过水平方向的平移消掉二次项和竖直方向上的拉伸压缩(或者还需要沿横轴的反射)把首项系数变为1，可以得到

$f(x)=x^3+px+q$ ，

$f'(x)=3x^2+p$ ，判别式是

$-12p$ ，事实上，我们有

$p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}$ .

可以看出如果

$b^2-3ac>0 ~(p<0)$ 那么函数图像一定有两个转折点(局部最大和局部最小)；

$b^2-3ac=0$ 则会有一个不是转折点的临界点；

$b^2-3ac<0$ 则没有临界点(没有水平切线)。

下面不妨记

$\Delta>0$ 为情形(1)，这种情形一定有

$b^2-3ac>0~(4p^3+27q^2<0\Rightarrow p<0)$ ,

e.g.

$y=(x+1)(x+2)(x-3)=x^3-7x-6$ .

当

$\Delta<0$ 时，有一个实根和一对非实的共轭复根，对应函数图像与x轴的1个交点(斜穿过横轴)；根据转折点的数量又分为三种情形

情形(2)：

$b^2-3ac>0~(4p^3+27q^2>0 ~\& ~p<0)$

2个转折点，对应一个局部最大和一个局部最小，

e.g.

$y=(x-2)(x^2+2x+3)=x^3-x-6$ ；

情形(3)：

$b^2-3ac=0~(4p^3+27q^2>0~\& ~p=0)$

1个非转折点的临界点，函数在定义域

$\mathbb{R}$ 上单调，e.g.

$y=(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$ ，

$y=(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$ .

情形(4)：

$b^2-3ac<0~(4p^3+27q^2>0~\&~p>0)$

0个临界点，函数在定义域

$\mathbb{R}$ 上单调，e.g.

$y=x(x^2+1)=x^3+x$ .

当

$\Delta=0$ 时，又对应两种情况：

情形(5)：

$b^2-3ac>0~(4p^3+27q^2=0 ~\& ~p<0)$

1个二重实根和1个实单根，函数图像在二重根处与横轴相切不穿过，在单根处斜穿过，一定有两个转折点，对应一个局部最大和一个局部最小，e.g.

$y=(x-1)^2(x+2)=x^3-3x+2$ .

情形(6)：

$b^2-3ac=0~(4p^3+27q^2=0 ~\& ~p=0)$

1个三重实根，函数图像在三重实根处与x轴相切穿过，没有转折点，函数在定义域

$\mathbb{R}$ 上单调，e.g.

$y=x^3$ .

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