python求一元三次方程的根_关于二次、三次、四次方程求解方法讨论

高次方程求解的一般方法是将高次方程通过配方求解，然后进行次数降解，高次方程转化为容易求解的低次方程.

一元二次方程

求解高次方程，一元二次方程是最为简单的方程.关于一元二次方程

,通过配方法可以求解:

设

,则分为以下的三种情况

当

时候,原方程有两个不相等的实数根:
当
时候,原方程有两个相等的实数根:
当
时候,原方程有一对共轭复数根:

一元三次方程

第一步仍然是对一般形式的方程进行配方处理:

关于一元二次方程

,通过配方法可以求解:

所以设

原方程可以化为

到此为止，下面有很多种方法求解三次方程

方法一:卡丹公式
意大利数学家卡尔达诺(G.Cardano)在1545年出版的《大术》一书中，首先发表了上述公式，此公式来自意大利数学家塔尔塔利亚(N.Tartaglia)，但卡尔达诺给出了该公式的几何证明。求解的方法如下所示

设

,则有

若对于任意

成立,可以令

或者表示为

所以求解三次方程化解为求解一个二次方程:

根据二次方程求根公式,判别式为

,设

.所以得到

即

或者

其中

.所以得到

为了方便起见，可以统一写成以下的形式

其中

显然,当

的时候,原方程有一个实数根和一对共轭复数根;

当

的时候,易知

由于

故而原方程有一个实数根和另外两个相等的实数根.

当

时候,我们可设

所以得到

所以原方程有三个不相等的实数根.

方法二:盛金公式法(包含有三角函数求解的方法)

由于系数

设

,则系数化为

则判别式化为

所以设

,重新定义判别式

.则

所以得到

设

，所以原方程中的根可以表示为

或者简写为

当

时候,这时我们考虑到三角函数中三倍角公式

实际上对应于这样的一个方程表达式:

它的根分别为

如此,对上述方程的根扩大m倍数,即

,则可以得到方程

对应于三次方程化简的形式

,则对照系数表达式可以得出:

所以有

所以原方程中的根可以表示为

，其中

一元四次方程

一元四次方程的一般形式可以表达为

其中

,经过配方可以得到

令

通过化简,设

可以得到一元四次方程

求解方法也有多种多样的方法，下面介绍这几种方法

方法一:带入求解方法(置换群方法)

设

,则可以得到

其中

所以有

带入原方程中得到

令

所以得到

所以得到一个三次方程

即方程

设

为方程的三个解,则方程的解为

由于

可见在产生四次方程根的时候,产生了四个多余的根.所以就有以下的结论:

当

的时候,公式变为:

当

的时候,公式变为:

当

时候,由三次方程可知

中一个为实数,另外两个为共轭复数,不妨设

所以当

时候

当

时候

当

时候,必有

.此时

当

的时候,公式变为:

当

的时候,公式变为

所以当

并且

时候,原方程必有两个相等的实数根和另外两个与之不相等的实数根;若

的时候,原方程必定有三个相等的实数根和另外一个与之不相等实数根;若

时候,原方程有四个相等实数根.

当

原方程有一对或者两对复数根.

方法二:配方法(费拉里方法)
由方程的化简形式,将低于4次的项移动到等式的右边可以得到,添加平方项

,并配方有

所以我们取适当的值z,可以将方程右边化为一个完全平方式.令

这是一个三次方程,求解这个三次方程就可以得到相应的四次方程的解.

方法三:待定系数法求解
设

将等式的右边展开可以得到

对照系数可以得到

由前两个方程可以得到

带入到第三个方程中化简可以得到方程

显然这是一个一元三次方程.通过求解这个三次方程可以得到相应的结果.

待定系数的方法最初由笛卡尔提出求解.

方法四:带入求解法(置换群)

这个方法不同于方法一.这里设方程的解为

由一元四次方程的一般形式可以化为

现在对等式两边同乘以

得到

然后设

所以得到方程

所以就会得到

故而有

很明显的目标就是将四次方程降次转化为三次方程进行求解.现在得到

由于

所以得到

而

并且有

所以得到

由于

所以根据上述的推论结果，就可以得到这样的一个结果

所以现在我们就可以构造方程

其中

,这就是我们即将要求的方程.这样我们非常惊奇地发现，这样构造的方程其实就是待定系数法所求解的方程表示的结果！求解这个方程就可以得到相应方程的解.

综上所述,通过求解2,3,4次方程可以得到这样的一个规律，求解高次方程的方法基本就是通过降解未知数的次数然后再求解方程.由于准备不足，这篇文章有待更新，后续过程中我们还会讨论一些更高次的方程，尤其是对5次方程的讨论与求解.