卡尔丹公式法

特殊型一元三次方程

X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)

判别式Δ=(q/2)2＋(p/3)3

卡尔丹公式

X1=(Y1)(1/3)＋(Y2)(1/3)

X2= (Y1)(1/3)ω＋(Y2)(1/3)ω^2

X3=(Y1)(1/3)ω2＋(Y2)^(1/3)ω

其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2

Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)2＋(p/3)3)^(1/2)

标准型一元三次方程

aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0)

令X=Y—b/(3a)代入上式

可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0

卡尔丹判别法

当Δ=(q/2)2＋(p/3)3>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根

当Δ=(q/2)2＋(p/3)3=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根

当Δ=(q/2)2＋(p/3)3

其他方法

除了上文中的[卡尔丹公式]解法，[一元三次方程]还有其它解法，列举如下：

因式分解法

[因式分解]法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程[降次]

例如：[解方程]x^3-x=0

对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=-1。

一种换元法

对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。

令x=z-p/3z，代入并[化简]，

得：z^3-p/27z+q=0。

再令z^3=w，代入，

得：w^2-p/27w+q=0．

这实际上是关于w的[二次方程]。

解出w，再顺次解出z，x。

导数求解法

利用[导数]，求的函数的极大极小值，单调递增及递减区间，画出函数图像，有利于方程的大致解答，并且能快速得到方程解的个数，此法十分适用于高中数学题的解答。

如f(x)=x3+x+1,[移项]得x3+x=-1,设y1=x^3+x,y2=-1

y1的导数y1'=3x^2+1,

得y1'恒大于0，y1在R上单调递增，所以方程仅一个解，

且当y1=-1时x在-1与-2之间，

可根据f(x1)f(x2)<0的公式，无限逼近，求得较精确的解。

盛金公式法

[三次方程]应用广泛。用根号解[一元三次方程]，虽然有著名的[卡尔丹公式]，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。[范盛金]推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——[盛金公式]，并建立了新判别法——盛金判别法。

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盛金判别法

当A=B=0时，方程有一个三重实根。

当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭复根。

当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。

当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

盛金定理

当b=0，c=0时，盛金公式1无意义；

当A=0时，盛金公式3无意义；

当A≤0时，盛金公式4无意义；

当T1时，盛金公式4无意义。

当b=0，c=0时，盛金公式1是否成立？

盛金公式3与盛金公式4是否存在A≤0的值？

盛金公式4是否存在T1的值？

盛金定理给出如下回答：

盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0(此时，方程有一个三重实根0，盛金公式1仍成立)。

盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0(此时，适用盛金公式1解题)。

盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0(此时，适用盛金公式1解题)。

盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0(此时，适用盛金公式2解题)。

盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0(此时，适用盛金公式2解题)。

盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0(此时，适用盛金公式1解题)。

盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值(此时，适用盛金公式3解题)。

盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在A≤0的值。(此时，适用盛金公式4解题)。

盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1

显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。

注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。

盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。

公式特点

当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：

X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。

简明易记，不存在开方(此时的[卡尔丹公式](仍存在开立方)。盛金公式③手算解题效率高。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。

重根判别式

A=b2－3ac；

B=bc－9ad；

C=c2－3bd

是最简明的式子，由A、B、C构成的总[判别式]

Δ=B2－4AC

也是最简明的式子(是非常美妙的式子)，

其形状与一元二次方程的根的判别式相同；

盛金公式②中的式子

(－B±(B2－4AC)^(1/2))/2

具有一元二次方程求根公式的形式，

这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。