python一元三次方程拟合_一元三次方程的求根公式

一元二次方程的回顾和启示

学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程

，通过配方可以得到

，根据判别式

的符号，可以判断方程实根的个数，并且可以得到求根公式

要么是

个不同的实根

，要么是

个二重实根

，要么是

对共轭虚根

;计算重数的情况下都是

个根。

记两根为

可以直接验证韦达定理：

两根之和

以及两根之积

，判别式

求根公式看上去复杂，但如果把上述两式代入求根公式

注：如果

是共轭虚根，

就是纯虚数，对负数

开方不能得到

几何意义：记

是两根的平均值，乘积为

. 如果

都是实根，则

是根到平均值的距离。

求根公式就可以改写成

两根到平均值

的距离

还可以通过下列方式得到：

不妨设

，用平方差公式得到

，立即可以算出

可以看到在实根的情况下

是实数轴上两根的中点，而

是两根到中点的距离。

如果

，

和

是共轭虚根，绝对值（长度）相等

在复平面上是

和

连线的中点（在实轴上），刚好对应由

和

作为两邻边的菱形对角线的交点，是菱形水平方向对角线的一半，而

是中点到两根的有向距离，是菱形竖直方向对角线的一半。

如果考虑一般的复系数一元二次方程呢？任何两个复数

和

都可能是方程的两根，因为由韦达定理可以构造出

所以

就是两根连线的中点，但不一定在实轴上，以

和

为邻边构成的是一个更一般的平行四边形，

是对角线的交点，是其中一条对角线的一半，而

是交点到两根的有向距离，是另外一条对角线的一半。

一元三次方程根的构造

对于实系数一元三次方程

，自然会想能不能用配方法？

这里不是配成完全平方而是完全立方：

根据前两项两边同时加上

和

可以把左边边成完全立方，也就是

. 右边等于

有

的一次项，不能像一元二次方程配方后可以直接开平方根得到方程的根。但这提示我们可以作变量替换

把根整体平移

个单位，得到

（或者用直接用待定系数法确定平移量）

令

，

这里就把方程化简为了

. 从这里可以看出，配方法能做到的只是消去比方程次数少一次的那项，结合韦达定理可以知道，只不过是找到了方程的三个根的平均值，做一个平移，让新得到的方程的三个根的平均值为0.

这里有很多种变量替换的方法求解

一、卡尔达诺方法(Cardano's method)

引入两个新的变量

令

，代入可得

令

，方程变为

只要

满足

且

，那么

就是

的根。

由第一个方程可得

，代入第二个方程得

两边同时乘以

可得

是

的一元二次方程，由求根公式可得

立方根有三个，这里取其中一个

由

得对应的

可以表示成

得到方程的一个根为

设

为单位原根满足

(

)，可以得到另外两个根分别为

注意到

，

，因此也可以用下面的替换来推导出求根公式：

二、韦达替换(Vieta's substitution)

令

，代入可得

注意到

是

的一元二次方程，所以

代回可得

上面两种办法都通过变量替换推导求根公式，经过长期解具体方程总结得出一般规律，比如发现三次方程的根可以表示成两个立方根之和，有了这个根的形式的预判，求根公式就呼之欲出了。再后来Lagrange通过离散傅立叶变换统一求解低次方程，但这方法无法推广到5次方程。

三、拉格朗日方法(Lagrange's Method)

对于一般的二次方程，根可以表示为：

其中

是根的对称多项式，

虽然本身不是，但平方后也是根的对称多项式，可以用基本对称多项式表出

. 再根据韦达定理，可以推出求根公式。

对于一般的一元三次方程，记

，根可以表示为：

和

本身不是对称多项式，但两者立方后得到

然后两者相加可得立方和

是根的对称多项式，乘积

是根的对称多项式，乘积的立方

也是根的对称多项式。

对于一般的一元三次方程

，

对称多项式

和

可以由基本对称多项式

多项式表出，因此是方程系数的多项式。

也就是存在多项式

和

使得

和

. 容易看出

和

是一元二次方程

（预解式）的两根，可以用二次方程求根公式得到，再代回下列三式就可以得到三次方程的三个根：

对于约简后的一元三次方程

，和Cardano和Vieta方法殊途同归，得到相同的求根公式。

把

都用根表示代进去化简，可以得到平方根下的表达式为

展开后刚好是

的分子的相反数，也就是

，称之为方程的判别式，可以用来判断方程是否有重根。

如果

，

，非实的复根一定成对出现，所以只可能是实根是重根，剩下一个根也不可能是非实的复根，所以三个根都是实根；最特殊的情况是1个三重实根（

）。

如果

，

，一定是只有1个实根，两个非实的共轭复根；

如果

，

，一定是3个不同实根。

对于一般的三次方程

，判别式

四、三角解法 (Trigonometric Method) 和几何意义

如果实系数方程

有三个不同的实根 (

，一定有

)，用求根公式表示出来会有虚数

但如果用三角函数表示出来，不仅可以避免复数，还可以看出三个根的分布。

为了利用三倍角公式

，待定系数可设

，

代入可得

，

只需要满足系数成比例，也就是

，解得

原方程变为

当然也可以取为

圆心在y轴上任意一点，半径为

的圆上，三个点分别对应

，三个根是这三个点在横轴上的投影。对于一般情形圆心需要平移

，刚好在三次函数

图像的拐点处。

方程有3个不同的实的单根，对应函数图像与横轴的3个交点（均斜穿过横轴）；函数图像有2个转折点(turning points)，对应一个局部最大和一个局部最小。

五、三次函数的图像

三次函数

转折点的数量取决于其导函数

的判别式

或者通过水平方向的平移消掉二次项和竖直方向上的拉伸压缩（或者还需要沿横轴的反射）把首项系数变为1，可以得到

，

，判别式是

，事实上，我们有

可以看出如果

那么函数图像一定有两个转折点（局部最大和局部最小）；

则会有一个不是转折点的临界点；

则没有临界点（没有水平切线）。

下面不妨记

为情形(1)，这种情形一定有

e.g.

当

时，有一个实根和一对非实的共轭复根，对应函数图像与x轴的1个交点（斜穿过横轴）；根据转折点的数量又分为三种情形

情形(2)：

2个转折点，对应一个局部最大和一个局部最小，

e.g.

；

情形(3)：

1个非转折点的临界点，函数在定义域

上单调，e.g.

，

情形(4)：

0个临界点，函数在定义域

上单调，e.g.

当

时，又对应两种情况：

情形(5)：

1个二重实根和1个实单根，函数图像在二重根处与横轴相切不穿过，在单根处斜穿过，一定有两个转折点，对应一个局部最大和一个局部最小，e.g.

情形(6)：

1个三重实根，函数图像在三重实根处与x轴相切穿过，没有转折点，函数在定义域

上单调，e.g.