漫步数学分析十—

定义7\textbf{定义7} 令xkx_k是RnR^n中的点列，如果对每个包含xx的开集UU(或者称为xx的邻域)，有一个NN使得k≥Nk\geq N时xk∈Ux_k\in U，那么我们说xkx_k 收敛到RnR^n中的一个极限值xx，如图1所示。

图1：序列收敛

这个定义与下面介绍的ε\varepsilon定理是一致的。

定理8\textbf{定理8} RnR^n中的序列xkx_k收敛到x∈Rnx\in R^n，当且仅当对于每个ε>0\varepsilon>0，有一个NN使得k≥Nk\geq N 时∥x−xk∥<ε\Vert x-x_k\Vert。

这个定义类似于我们熟悉的实数的收敛序列，下面介绍的定理与上面的非常类似

定理8\textbf{定理8} xk→xx_k\to x，当且仅当xkx_k的元素像实数序列那样收敛到xx中的元素。

该定义的证明会放到附2中，从定理7中以及∥xk−x∥\Vert x_k-x\Vert的显示公式中很容易得出这个定理。

我们可以用序列来判断一个集合是否为闭，方法如下：

定理9\textbf{定理9}

集合A⊂RnA\subset R^n是闭集，当且仅当每个序列xk∈Ax_k\in A收敛的极限属于AA。
对于集合B⊂RnB\subset R^n，x∈cl(B)x\in\text{cl}(B)当且仅当有一个序列xk∈Bx_k\in B满足xk→xx_k\to x。

这个定义的直观与定理4与5一样，我们应该注意的是(i),(ii)\textrm{(i),(ii)}中的序列是平凡的，对于所有k,xk=xk,x_k=x。

类似R1R^1的情况，可以定义RnR^n中的柯西序列。

定义8\textbf{定义8} 对于序列xk∈Rnx_k\in R^n，如果对于每个ε>0\varepsilon>0，有一个NN使得l,k≥Nl,k\geq N暗含∥xk−xl∥<ε\Vert x_k-x_l\Vert，那么称该序列为柯西序列。

定理10\textbf{定理10} RnR^n中的序列xkx_k收敛到RnR^n中的点，当且仅当它是一个柯西序列。

因为柯西条件没有明确涉及极限点，所以这个定理是判断收敛一种非常重要的方法，因此即便我们不知道一个序列的极限，但我们依然可以说出该序列是否收敛。

注意：对于通常的度量空间(集合SS与满足第一章定理5(III)\textrm{(III)}条件的实值距离函数dd)柯西序列就是对所有ε>0\varepsilon>0，存在NN使得k,l≥Nk,l\geq N时d(xk,xl)<εd(x_k,x_l)的序列。当且仅当每个柯西序列收敛到空间中的一个点时，我们称该空间是完备的(complete)，这里给出一个不完备空间的例子：距离函数为d(x,y)=|x−y|d(x,y)=|x-y|的有理数，那么定理10就表明RnR^n是一个完备度量空间。

例1：\textbf{例1：}说明当n→∞n\to\infty时序列(1/n,1/n2)(1/n,1/n^2)收敛到(0,0)(0,0)。

解：\textbf{解：}序列中的每个元素1/n,1/n21/n,1/n^2都收敛到0，所以由定理8可知，xn=(1/n,1/n2)x_n=(1/n,1/n^2)收敛到(0,0)(0,0)。

例2：\textbf{例2：}令xn∈Rmx_n\in R^m是收敛序列，且对所有的nn满足∥xn∥≤1\Vert x_n\Vert\leq1，那么说明极限xx也满足∥x∥≤1\Vert x\Vert\leq 1，如果≤\leq换成<<script type="math/tex" id="MathJax-Element-73"><</script>的话，这个结论还满足吗？

解：\textbf{解：}单位球B={y∈Rm|∥y∥≤1}B=\{y\in R^m|\Vert y\Vert\leq1\}是闭的，因此由定理9(i)\textrm{(i)}可得，xn∈Bx_n\in B意味着x∈Bx\in B，但是如果≤\leq换成<<script type="math/tex" id="MathJax-Element-80"><</script> 的话，这个结论就不为真。例如实数RR上的xn=1−1/nx_n=1-1/n序列。

例3：\textbf{例3：}找出A={1/n∈R|n=1,2,…}A=\{1/n\in R|n=1,2,\ldots\}的闭包。

解：\textbf{解：}利用定理9(ii)\textrm{(ii)}，序列1/n→01/n\to 0，所以0∈cl(A)0\in\text{cl}(A)，从AA中取任何其他序列都不会产生新的点，所以

cl(A)=A∪{0}

\text{cl}(A)=A\cup\{0\}

漫步数学分析十——序列相关推荐

漫步数学分析十六——紧集与连集的像
定理2\textbf{定理2} 令f:A→Rmf:A\to R^m是一个连续映射,那么如果K⊂AK\subset A并且KK是连集,那么f(K)f(K)是连集. 如果B⊂AB\subset A并且B ...
漫步数学分析十五——连续
连续函数有一个重要的性质,那就是当xx靠近x0x_0时,f(x)f(x)靠近f(x0)f(x_0)(如图???\ref{fig:4-1}所示).另一方面,在图2中,即使xx非常靠近x0x_0,但是f( ...
漫步数学分析十二——嵌套
定理1有一个非常重要的推论,就是嵌套性. 定理2\textbf{定理2} 令FkF_k是RnR^n中非空紧集序列,对于所有k=1,2,-k=1,2,\ldots满足Fk+1⊂FkF_{k+1}\sub ...
漫步数学分析十九——介值定理
介值定理说明对于某区间上的连续函数,给定两个值后,可以取得两个值中间的所有值,如图1,图2中的不连续函数ff不会取值1/21/2.简单来说,该定理告诉我们不连续函数可以从一个值调到另一个值,而连续函数 ...
漫步数学分析十八——紧集上连续函数的有界性
现在我们证明连续实值函数的一个重要性质,即有界定理.有界定理表明连续函数在紧集上是有界的并且在集合上的某些点取得最大值与最小值,准确的描述放到定理5中. 为了理解上面的结论,我们考虑非紧集上函数会发生 ...
漫步数学分析二十六——积分方程与不动点
在许多物理问题中,我们会遇到积分方程:他们的形式如下 f(x)=a+∫x0k(x,y)f(y)dy(1) \begin{equation} f(x)=a+\int_0^x k(x,y)f(y)dy\t ...
漫步数学分析二十五——等连续函数
定义4\textbf{定义4} 令B⊂ℓ(A,Rm)B\subset \ell(A,R^m),我们称BB是函数的等连续(equicontinuous)集合,如果对于每个ε>0\varepsilo ...
漫步数学分析二十四——连续函数空间
固定集合A⊂RnA\subset R^n并且考虑所有函数f:A→Rmf:A\to R^m的集合VV,那么VV可以看成一个向量空间.在VV中,零向量就是对于所有的x∈Ax\in A函数等于0的函数.另外 ...
漫步数学分析二十八——狄利克雷与阿贝尔测试
在我们判断一致收敛的时候,某些情况下魏尔斯特拉斯M测试会失效,为此挪威数学家尼尔斯阿贝尔(Niels Abel)以及狄利克雷(Dirichlet)分别提出了两种测试方法,这些方法对许多实例都是非常有用 ...

漫步数学分析十——序列

漫步数学分析十——序列相关推荐

最新文章

热门文章