漫步数学分析十二—

定理1有一个非常重要的推论，就是嵌套性。

定理2\textbf{定理2} 令FkF_k是RnR^n中非空紧集序列，对于所有k=1,2,…k=1,2,\ldots满足Fk+1⊂FkF_{k+1}\subset F_k，那么在∩∞k=1Fk\cap_{k=1}^\infty F_k中至少存在一个点。

直观上来看，集合FkF_k会越来越小，所以我们可以将其看成序列中的一个点。然而，如果FkF_k是非紧的，那么交集可能为空。

我们可以用波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理证明它，对每个kk选取xk∈Fkx_k\in F_k，那么xkx_k有一个收敛的子序列，因为他们都位于F1F_1中，因为集合FkF_k是闭的所以极限点肯定位于所有的集合中。

有一个更加容易的证明会在附3中给出，该证明用到了定理1(ii)′\textrm{(ii)}^{'}。

例1：\textbf{例1：}对Fk=[0,1/k]⊂RF_k=[0,1/k]\subset R，验证定理2。

解：\textbf{解：}每个FkF_k是紧集并且很明显Fk+1⊂FkF_{k+1}\subset F_k，交集是{0}\{0\}，它是非空的。

例2：\textbf{例2：}如果非空紧变成非空开火非空闭，那么定理2还成立吗？

解：\textbf{解：}不成立。令Fk=(k,∞)F_k=(k,\infty)或者[k,∞)[k,\infty)。

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漫步数学分析十二——嵌套

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