漫步数学分析十九—

介值定理说明对于某区间上的连续函数，给定两个值后，可以取得两个值中间的所有值，如图1，图2中的不连续函数ff不会取值1/21/2。简单来说，该定理告诉我们不连续函数可以从一个值调到另一个值，而连续函数必须通过所有中间值。

图1

介值定理不成立的另一方方式是定义域AA是不连通的，如图3所示。

因此关键的假设是ff是连续函数并且ff定义在连通区域上。我们随后会看到定理6的证明非常简单，因为我们已经形式化了连集的概念。

图2

定理6\textbf{定理6} 令A⊂Rn,f:A→RA\subset R^n,f:A\to R是连续的，假设K⊂AK\subset A是连集并且x,y∈Kx,y\in K。对于每个数c∈Rc\in R 满足f(x)≤c≤f(y)f(x)\leq c\leq f(y)，存在一个点z∈Kz\in K使得f(z)=cf(z)=c。

因为区间(开或闭)是连集，所以介值定理就变成了定理6的特殊情况。然而，注意到定理6更加一般的情况。例如，将其应用到定义在整个RnR^n上(这是一个连集)的多变量实值函数f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n)。

例1：\textbf{例1：}利用f(K)f(K)是连集这个事实，证明定理6。

解：\textbf{解：}有定理2知道f(K)f(K)是连集，因此f(K)f(K)是一个区间，可能是无线的。但是如果f(x),f(y)∈f(K)f(x),f(y)\in f(K)，那么[f(x),f(y)]⊂f(K)[f(x),f(y)]\subset f(K)，因为f(K)f(K)是一个区间。所以如果cc与定理6中一样，那么c∈[f(x),f(y)]c\in [f(x),f(y)]，所以c∈f(K)c\in f(K)，所以存在zz满足c=f(z)c=f(z)。这是证明定理6的一种方法，另外一种方法会在后面给出。

图3

例2：\textbf{例2：}令f(x)f(x)是三次多项式，说明ff有一个(实)根x0x_0(即，f(x0)=0f(x_0)=0)。

解：\textbf{解：}f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其中a≠0a\neq 0。假设a>0a>0，对于x>0x>0，当xx变大时，ax3ax^3也在变大并且比其他项都大，所以如果x>0x>0且xx较大时，f(x)>0f(x)>0。同样地，如果xx较大且为负，那么f(x)<0f(x)，因此应用介值定理可得存在点x0x_0使得f(x0)=0f(x_0)=0。

例3：\textbf{例3：}令f:[1,2]→[0,3]f:[1,2]\to [0,3]是连续函数，且f(1)=0,f(2)=3f(1)=0,f(2)=3。说明ff有一个定点，即存在一个点x0∈[1,2]x_0\in[1,2]使得f(x0)=x0f(x_0)=x_0。

解：\textbf{解：}令g(x)=f(x)−xg(x)=f(x)-x，那么gg是连续的，g(1)=f(1)−1=−1,g(2)=f(2)−2=3−2=1g(1)=f(1)-1=-1,g(2)=f(2)-2=3-2=1，因此利用介值定理，gg肯定在某点x0∈[1,2]x_0\in[1,2]处等于零，这个x0x_0就是f(x)f(x)的定点。

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漫步数学分析十九——介值定理

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