量子计算基础整理

量子计算基础整理
- 写在前面
- 量子力学基础
- - 量子的四个特性
  - 量子态的描述
  - - 定义
    - 状态演化
  - 叠加态与测量
  - 相态，纯态和混合态
  - 混合态的表示
  - 可观测量与量子观测
  - 复合系统与联合测量
  - - 张量积
    - 复合系统的状态演化

写在前面

年间本来是计划玩电动的，突然觉得有一点点索然无味。遂整理一下先前看过的《量子计算与编程入门》一书的一些知识点，算是读书笔记。

本文的知识点较为简单，主要分为以下两个部分：

量子力学基础理论
量子程序

量子力学部分主要为搭建一个电路所需要的最基础的知识点，量子程序也同样如此。

本人并没有量子力学的基础，但量子计算机关注的重点是计算机，而非量子。若对线性代数或矩阵论的内容较为熟悉，应该没有特别大的困难。

量子力学基础

量子的四个特性

”量子态就是一个微观粒子的状态。“

而由薛定谔方程，可以得到量子的第一个特性——一定会遇到不可分割的最小单位，这种最小单位统称为量子。
− ℏ 2 2 μ ∇ 2 Ψ + U Ψ = E Ψ -\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2\Psi+U\Psi=E\Psi −2μℏ2∇2Ψ+UΨ=EΨ

“量子化的属性有很多种，这里优先考虑一种——能量。”

能量的量子化的表现形式为能级。

当我们谈到能级，就可以引出量子的第二个特性——跃迁。

《量子计算与编程入门》一书中对于这两个特性举了一个例子：把一层楼比作量子，对于量子而言，能级就如同拆掉楼梯和电梯的楼层一样，人们只能位于楼层中的某一层，而不能处于两个楼层的中间某个状态（能级）。

但这样并不代表我们没办法上下楼了，相反，如果我们需要上楼的话，我们可以直接超级跳跳上去（跃迁）：）

量子的第三个特性——量子叠加性的例子就非常有名了，那就是我们非常熟悉的薛定谔的猫。即当我们不去观测的时候，猫会处于生与死的叠加态。在我们先前的例子中，如果我们不去观测，每栋楼里的每个人同时存在于所有楼层。

PS：虽然量子有叠加性，但随观测次数的增加，会趋于一个稳定的结果（大数定律）。而宏观物体内的粒子数量非常庞大，所以宏观物体——大量粒子的集合体是绝无可能存在叠加性的。

“薛定谔宣称，不打开盒子，猫就处于生和死的’叠加态‘，又称‘当我们打开盒子，经过了我们的观察，猫就会坍缩到一个确定的生、死状态上’。”

得到这个态的概率是叠加态和测量态的内积的平方，且测量后叠加态就会坍缩到这个确定的态上。

这里便是量子的第四个特性——“测量与坍缩假设”。对于一个叠加态，测量的结果一定是量子化后确定、分立的态中的一个。

量子态的描述

下面就是各种矩阵运算了。

定义

量子态可以用线代中的向量描述，量子态的向量称为态矢，可以分为左矢（ket）与右矢（bra）。
右矢： ∣ ψ ⟩ = [ c 1 , c 2 , . . . , c n ] T |\psi\rangle=[c_1,c_2,...,c_n]^T ∣ψ⟩=[c1,c2,...,cn]T
左矢： ⟨ ψ ∣ = [ c 1 ∗ , c 2 ∗ , . . . , c n ∗ ] \langle\psi|=[c_1^*,c_2^*,...,c_n^*] ⟨ψ∣=[c1∗,c2∗,...,cn∗]
这样的组合就可以描述一个量子态，其中每一个分量都是复数，T表示转置，如果左右矢在括号内的描述相同，那么称为这两个矢量互为转置共轭。

有了量子态的矩阵表示，我们就可以定义内外积啦。

假设两个量子态矩阵（坐标）表示如下
∣ α ⟩ = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] T |\alpha\rangle=[a_1,a_2,...,a_n]^T ∣α⟩=[a1,a2,...,an]T
∣ β ⟩ = [ b 1 , b 2 , . . . , b n ] T |\beta\rangle=[b_1,b_2,...,b_n]^T ∣β⟩=[b1,b2,...,bn]T
那么内积就可以定义为
⟨ α ∣ β ⟩ = ∑ i = 1 n a i ∗ b i \langle\alpha|\beta\rangle=\sum_{i=1}^{n}a_i*b_i ⟨α∣β⟩=i=1∑nai∗bi
外积就可以定义为
∣ α ⟩ ⟨ β ∣ = [ a i b i ∗ ] n × n |\alpha\rangle\langle\beta|=[a_ib_i^*]_{n\times{n}} ∣α⟩⟨β∣=[aibi∗]n×n
表示这是一个 nxn 的矩阵

同时，对于二能级量子，能量较高的称为激发态（excited state）记为
∣ e ⟩ = ∣ 1 ⟩ = [ 1 0 ] o r ⟨ e ∣ = ⟨ 1 ∣ = [ 1 0 ] |e\rangle=|1\rangle= \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right] or \langle e|=\langle 1|= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} \right] ∣e⟩=∣1⟩=[10]or⟨e∣=⟨1∣=[10]
能量较低的称为基态（ground state）记为

∣ g ⟩ = ∣ 0 ⟩ = [ 0 1 ] o r ⟨ g ∣ = ⟨ 0 ∣ = [ 0 1 ] |g\rangle= |0\rangle= \left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right] or \langle g|= \langle 0|= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} \right] ∣g⟩=∣0⟩=[01]or⟨g∣=⟨0∣=[01]

为了与经典的比特进行类比，通常我们称激发态与基态为量子比特（qubit）。

状态演化

假设封闭的量子系统演化由与时刻 t 1 t_1 t1与 t 2 t_2 t2酉变换 U U U描述。那么在 t 1 t_1 t1与 t 2 t_2 t2时刻的量子态 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩满足

∣ ψ 2 ⟩ = U ∣ ψ 1 ⟩ |\psi_2\rangle=U|\psi_1\rangle ∣ψ2⟩=U∣ψ1⟩

且满足
U U † = I UU^\dagger=I UU†=I
U † U^\dagger U†表示对 U U U取转置共轭，由此可知 U U U是可逆矩阵，酉变换也是一个可逆变换。

在量子计算中，酉矩阵也被称为量子门（类比逻辑门）

这里给大家介绍一下Pauli矩阵，Pauli矩阵就是一组量子门

σ 0 ≡ I ≡ [ 1 0 0 1 ] , σ 1 ≡ σ x ≡ X ≡ [ 0 1 1 0 ] \sigma_0\equiv I\equiv\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] , \sigma_1\equiv\sigma_x\equiv X\equiv\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] σ0≡I≡[1001],σ1≡σx≡X≡[0110]
σ 2 ≡ σ y ≡ Y ≡ [ 0 1 1 0 ] , σ 3 ≡ σ z ≡ Z ≡ [ 1 0 0 − 1 ] \sigma_2\equiv \sigma_y\equiv Y\equiv\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] , \sigma_3\equiv\sigma_z\equiv Z\equiv\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] σ2≡σy≡Y≡[0110],σ3≡σz≡Z≡[100−1]

其中X门对于任意量子态
X ∣ ψ ⟩ = [ 0 1 1 0 ] [ α β ] = [ β α ] = β ∣ 0 ⟩ + α ∣ 1 ⟩ X|\psi\rangle= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha \\ \beta \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \beta \\ \alpha \end{matrix} \right]= \beta|0\rangle+\alpha|1\rangle X∣ψ⟩=[0110][αβ]=[βα]=β∣0⟩+α∣1⟩
所以X门也叫量子非门（quantum NOT gate）

叠加态与测量

上述的两个矢量可以构成一个二维空间的基。任何一个态都可以写为这两个基在复数空间上的线性组合
∣ ψ ⟩ = a ∣ 0 ⟩ + b e i θ ∣ 1 ⟩ |\psi\rangle=a|0\rangle+be^{i\theta}|1\rangle ∣ψ⟩=a∣0⟩+beiθ∣1⟩
a a a. b b b为满足归一化的实数； e i θ e^{i\theta} eiθ表示模为1、幅角为 θ \theta θ的复数（欧拉公式）。

测量的定义为将量子态 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩投影到另一个态 ∣ γ ⟩ |\gamma\rangle ∣γ⟩上。获得这个态的 ∣ γ ⟩ |\gamma\rangle ∣γ⟩概率是它们内积的平方，即
P γ = ∣ ⟨ ψ ∣ γ ⟩ ∣ 2 P_{\gamma}=|\langle\psi|\gamma\rangle|^2 Pγ=∣⟨ψ∣γ⟩∣2
其他概率下会将量子态投影到它的正交态上（由于没能投影到态 ∣ γ ⟩ |\gamma\rangle ∣γ⟩，故只能投影到与 ∣ γ ⟩ |\gamma\rangle ∣γ⟩不构成线性相关的态上）。
P γ ⊥ = 1 − P γ P_{\gamma\bot}=1-P_\gamma Pγ⊥=1−Pγ

相态，纯态和混合态

我们来看看下面的两个量子态：

∣ ψ 1 ⟩ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) |\psi_1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle) ∣ψ1⟩=2 1(∣0⟩+∣1⟩)

∣ ψ 2 ⟩ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ − ∣ 1 ⟩ ) |\psi_2\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle) ∣ψ2⟩=2 1(∣0⟩−∣1⟩)
然后算一算在 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩或者 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩方向上测量的概率

选取 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩作为方向，对于 ∣ ψ 1 ⟩ |\psi_1\rangle ∣ψ1⟩
P 1 = ∣ ⟨ ψ ∣ 1 ⟩ ∣ 2 = 0.5 P_{1}=|\langle\psi|1\rangle|^2=0.5 P1=∣⟨ψ∣1⟩∣2=0.5
对于 ∣ ψ 2 ⟩ |\psi_2\rangle ∣ψ2⟩，同样的
P 1 = ∣ ⟨ ψ ∣ 1 ⟩ ∣ 2 = 0.5 P_{1}=|\langle\psi|1\rangle|^2=0.5 P1=∣⟨ψ∣1⟩∣2=0.5

根本分不出来嗷，这是因为缺了个相位信息 θ \theta θ

还有一种情况，假设有两个袋子，一个装满了 ∣ ψ 1 ⟩ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) |\psi_1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle) ∣ψ1⟩=2 1(∣0⟩+∣1⟩)放在左侧，另一个是空的。

不断从左侧拿出一个态，测量（量子态塌缩），然后扔到右边的袋子，经过多次实验后，右侧袋子应该具有大致等量的 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩和 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩.

此时从右侧取出一个态，在不知道手上是什么态的情况下，能说手上的态是 1 2 ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle) 2 1(∣0⟩+∣1⟩)吗？

答案是不行的，此时右侧的袋子已经变成了

{ ∣ ψ 0 ⟩ = ∣ 0 ⟩ : P 0 = 0.5 , ∣ ψ 1 ⟩ = ∣ 1 ⟩ : P 1 = 0.5 } \{|\psi_0\rangle=|0\rangle: P_0=0.5,|\psi_1\rangle=|1\rangle:P_1=0.5 \} {∣ψ0⟩=∣0⟩:P0=0.5,∣ψ1⟩=∣1⟩:P1=0.5}

这样的集合形式，同样没有了相位信息。

由此，引出定义，纯态不仅具有概率还有相位，混合态是纯态的概率性叠加，往往失去了全部或部分的相位信息。

混合态的表示

混合态可以描述成态集合和概率的列表，但这样太麻烦了，所以可以改为使用密度矩阵的形式进行描述。

对于纯态，密度矩阵的形式是
ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ \rho=|\psi\rangle\langle\psi| ρ=∣ψ⟩⟨ψ∣
对于混合态，密度矩阵的形式是
ρ = ∑ i P i ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ \rho=\sum_iP_i|\psi\rangle\langle\psi| ρ=i∑Pi∣ψ⟩⟨ψ∣
其中， { P i , ∣ ψ i ⟩ } \{ P_i,|\psi_i\rangle \} {Pi,∣ψi⟩}是系统所处的态及概率

密度矩阵具有以下性质：

“对于一个两能级系统表述的态，不论是纯的还是混合的，都可以用密度矩阵 ρ \rho ρ描述”
“ ρ = ρ 2 \rho=\rho^2 ρ=ρ2当且仅当量子态为纯态时成立”
“ ρ \rho ρ对角线上的分量表示整个系统如果经历一次测量，可以得到的是这个态的概率。如果只操作和测量一个两能级系统，分辨不出相同的密度矩阵”

密度矩阵可以完备的描述一个两能级系统可能出现的任何状态。为了方便理解，这里引入布洛赫球的概念，方便百事一个量子比特的任意状态。

如果量子态是纯态，那么它是球上的点，z坐标衡量 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩和 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩，公式表示
P 0 ( ∣ ψ ⟩ ) = 1 + z 2 P_0(|\psi\rangle)=\frac{1+z}{2} P0(∣ψ⟩)=21+z
P 1 ( ∣ ψ ⟩ ) = 1 − z 2 P_1(|\psi\rangle)=\frac{1-z}{2} P1(∣ψ⟩)=21−z
沿平行于平面 x y xy xy的方向，穿过圆面上一点的 z z z坐标得到的圆就代表了相位的复平面；这个点于 x x x的夹角就是单位复数的幅角。

由此，每个纯态都与球面上的点一一对应了起来。

由于混合态是多个纯态的经典统计概率叠加，每一个纯态分量（连接球面到球心的点）的加权平均即可得到混合态矢量。由此可知，混合态的点在布洛赫球的球内。

最大混合态是球心，不存在任何量子叠加性。

下面我们就拿这个点计算一下，由于布洛赫球上的（1，0，0）和（-1，0，0）是 x x x方向的顶点与 − x -x −x方向上的顶点。量子态概率分布就是 z z z坐标，即 0 0 0。
P 0 ( ∣ ψ 1 ⟩ ) = P 0 ( ∣ ψ 2 ⟩ ) = 0.5 P_0(|\psi_1\rangle)=P_0(|\psi_2\rangle)=0.5 P0(∣ψ1⟩)=P0(∣ψ2⟩)=0.5
幅角 θ 1 = 0 , θ 2 = π \theta_1=0,\theta_2=\pi θ1=0,θ2=π，由此可推断
∣ ψ 1 ⟩ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) |\psi_1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle) ∣ψ1⟩=2 1(∣0⟩+∣1⟩)

∣ ψ 2 ⟩ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ − ∣ 1 ⟩ ) |\psi_2\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle) ∣ψ2⟩=2 1(∣0⟩−∣1⟩)

矩阵密度为
ρ = 1 2 ∣ ψ 1 ⟩ ⟨ ψ 1 ∣ + 1 2 ∣ ψ 2 ⟩ ⟨ ψ 2 ∣ = [ 0.5 0 0 0.5 ] \rho=\frac{1}{2}|\psi_1\rangle\langle\psi_1|+\frac{1}{2}|\psi_2\rangle\langle\psi_2|=\left[ \begin{matrix}0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix} \right] ρ=21∣ψ1⟩⟨ψ1∣+21∣ψ2⟩⟨ψ2∣=[0.5000.5]
即最大混合态。

可观测量与量子观测

量子比特的信息无法直接获取，但是我们可以通过测量得到可观测的信息。

这时又要引出量子理论中自拌算子（self-adjoint operators）的概念，自拌有时也称为厄米（Hermitian）。

量子理论的可观测量与经典力学中的动力学量（位置、动量、角动量）对应，其他量如质量、电荷等作为参数引入到系统的哈密顿量（Hamiltonian）。

下面我们就来测量一下量子吧：

假设量子测量是由测量算子的集合 { M i } \{M_i\} {Mi}来描述，这些算子可以作用在待测量系统的状态空间上，索引 i i i表示实验上可能发生的结果。如果测量前量子系统处于最新状态 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩，则
p ( i ) = ⟨ ψ ∣ M i † M i ∣ ψ ⟩ p(i)=\langle\psi|M_i^{\dagger} M_i|\psi\rangle p(i)=⟨ψ∣Mi†Mi∣ψ⟩
测量后系统状态变为
M i ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ M i † M i ∣ ψ ⟩ \frac{M_i|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|M_i^{\dagger} M_i|\psi\rangle}} ⟨ψ∣Mi†Mi∣ψ⟩ Mi∣ψ⟩

由于

∑ i p ( i ) = ∑ i ⟨ ψ ∣ M i † M i ∣ ψ ⟩ = 1 \sum_ip(i)=\sum_i\langle\psi|M_i^{\dagger} M_i|\psi\rangle=1 i∑p(i)=i∑⟨ψ∣Mi†Mi∣ψ⟩=1

易推得
∑ i M i † M i = I \sum_iM_i^{\dagger} M_i=I i∑Mi†Mi=I
这个方程也叫完备性方程（completeness equation）

单量子比特计算基下有两个测量算子，分别是 M 0 = ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ M_0=|0\rangle\langle0| M0=∣0⟩⟨0∣， M 1 = ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ M_1=|1\rangle\langle1| M1=∣1⟩⟨1∣

这两个测量算子都是自拌的，也就是转置共轭等于其本身，这两个算子同时也是幂等矩阵。

所以 M 0 † M 0 + M 0 † M 0 = M 0 + M 1 = I M_0^{\dagger} M_0+M_0^{\dagger} M_0=M_0+M_1=I M0†M0+M0†M0=M0+M1=I

设系统被测量时的状态是 ∣ ψ ⟩ = α ∣ 0 ⟩ + β ∣ 1 ⟩ |\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle ∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩

测量结果为0的概率是
p ( 0 ) = ⟨ ψ ∣ M 0 † M 0 ∣ ψ ⟩ = ⟨ ψ ∣ M 0 ∣ ψ ⟩ = ∣ α ∣ 2 p(0)=\langle\psi|M_0^{\dagger} M_0|\psi\rangle=\langle\psi|M_0|\psi\rangle=|\alpha|^2 p(0)=⟨ψ∣M0†M0∣ψ⟩=⟨ψ∣M0∣ψ⟩=∣α∣2
测量后系统状态变为
M 0 ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ M 0 † M 0 ∣ ψ ⟩ = M 0 ∣ ψ ⟩ ∣ α ∣ 2 = α ∣ α ∣ ∣ 0 ⟩ \frac{M_0|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|M_0^{\dagger} M_0|\psi\rangle}}=\frac{M_0|\psi\rangle}{|\alpha|^2}=\frac{\alpha}{|\alpha|}|0\rangle ⟨ψ∣M0†M0∣ψ⟩ M0∣ψ⟩=∣α∣2M0∣ψ⟩=∣α∣α∣0⟩
测量结果为1的概率与测量后状态也同理。

下面我们来介绍一下量子观测。

量子观测方式有很多种，比如投影测量（projective measurements）、POVM（positive operator-valued measure）。

本文的最后我们来介绍一下投影变换。当测量算子具有酉变换性质，投影测量与一般测量等价。

投影测量描述一个可观测量 Λ \Lambda Λ， Λ \Lambda Λ是带观测系统的状态空间上的自拌算子。同时 Λ \Lambda Λ可以分解为

Λ = ∑ i λ i P i \Lambda=\sum_i\lambda_iP_i Λ=i∑λiPi

这里 P i P_i Pi是 Λ \Lambda Λ的特征值 λ i \lambda_i λi对应特征空间上的投影。测量可能结果对应 λ i \lambda_i λi。在对状态 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩测量后，得到 i i i的结果的概率为
p i = p ( λ = λ i ) = ⟨ ψ ∣ P i ∣ ψ ⟩ p_i=p(\lambda=\lambda_i)=\langle\psi|P_i|\psi\rangle pi=p(λ=λi)=⟨ψ∣Pi∣ψ⟩

测量后，结果 i i i发生，量子态坍缩，量子系统的最新状态为
P i ∣ ψ ⟩ p i \frac{P_i|\psi\rangle}{\sqrt{p_i}} pi Pi∣ψ⟩

投影测量有一个重要的特征就是很容易计算投影测量的平均值 E ( Λ ) E(\Lambda) E(Λ)
E ( Λ ) = ∑ i λ i p i = ∑ i λ i ⟨ ψ ∣ P i ∣ ψ ⟩ = ⟨ ψ ∣ ( ∑ i λ i P i ) ∣ ψ ⟩ = ⟨ ψ ∣ Λ ∣ ψ ⟩ E(\Lambda)=\sum_i\lambda_ip_i \\=\sum_i\lambda_i\langle\psi|P_i|\psi\rangle \\ =\langle\psi|\left(\sum_i\lambda_iP_i\right)|\psi\rangle \\=\langle\psi|\Lambda|\psi\rangle E(Λ)=i∑λipi=i∑λi⟨ψ∣Pi∣ψ⟩=⟨ψ∣(i∑λiPi)∣ψ⟩=⟨ψ∣Λ∣ψ⟩
这样计算就简单多了，观测量 Λ \Lambda Λ也记作 ⟨ Λ ⟩ ≡ ⟨ ψ ∣ Λ ∣ ψ ⟩ \langle\Lambda\rangle\equiv\langle\psi|\Lambda|\psi\rangle ⟨Λ⟩≡⟨ψ∣Λ∣ψ⟩

那么，标准差 Δ ( Λ ) \Delta(\Lambda) Δ(Λ)也可以计算了
[ Δ ( Λ ) ] 2 = ⟨ ( Λ − ⟨ Λ ⟩ ) 2 ⟩ = ⟨ Λ 2 ⟩ − ⟨ Λ ⟩ 2 \left[\Delta(\Lambda) \right]^2=\langle (\Lambda-\langle\Lambda\rangle)^2\rangle=\langle \Lambda^2\rangle-\langle\Lambda\rangle^2 [Δ(Λ)]2=⟨(Λ−⟨Λ⟩)2⟩=⟨Λ2⟩−⟨Λ⟩2

标准差是一个刻画典型分散程度的度量。

复合系统与联合测量

张量积

张量积是两个向量空间形成的一个更大向量空间的运算。在量子力学中，量子的状态由希尔伯特空间（Hilbert space）中的单位向量来描述。

设 H 1 H_1 H1 和 H 2 H_2 H2 分别为 n 1 n_1 n1 和 n 2 n_2 n2 维的希尔伯特空间。 H 1 H_1 H1 和 H 2 H_2 H2 的张量积为一个 m n mn mn 维的希尔伯特空间 H ≡ H 1 ⊗ H 2 H\equiv H_1 \otimes H_2 H≡H1⊗H2，对于 H 1 H_1 H1 中的每一个向量 ∣ h 1 ⟩ |h_1\rangle ∣h1⟩ 和 H 2 H_2 H2 中的每一个向量 ∣ h 2 ⟩ |h_2\rangle ∣h2⟩ 在 H H H 中都要有唯一的向量 ∣ h 1 ⟩ ⊗ ∣ h 2 ⟩ |h_1\rangle \otimes |h_2\rangle ∣h1⟩⊗∣h2⟩，并在 H H H 中的向量都可以表示为 ∣ h 1 ⟩ ⊗ ∣ h 2 ⟩ |h_1\rangle \otimes |h_2\rangle ∣h1⟩⊗∣h2⟩ 的线性叠加。还要满足以下基本性质：

对于任意 ∣ h 1 ⟩ ∈ H 1 |h_1\rangle\in H_1 ∣h1⟩∈H1， ∣ h 2 ⟩ ∈ H 2 |h_2\rangle\in H_2 ∣h2⟩∈H2，以及任意复数 c ∈ C c\in\mathbb{C} c∈C，都有
c ( ∣ h 1 ⟩ ⊗ ∣ h 2 ⟩ ) = ( c ∣ h 1 ⟩ ) ⊗ ∣ h 2 ⟩ − ∣ h 1 ⟩ ⊗ ( c ∣ h 2 ⟩ ) c(|h_1\rangle\otimes|h_2\rangle)=(c|h_1\rangle)\otimes|h_2\rangle-|h_1\rangle\otimes(c|h_2\rangle) c(∣h1⟩⊗∣h2⟩)=(c∣h1⟩)⊗∣h2⟩−∣h1⟩⊗(c∣h2⟩)
对于任意 ∣ h 1 1 ⟩ , ∣ h 1 2 ⟩ ∈ H 1 |h_1^1\rangle,|h_1^2\rangle\in H_1 ∣h11⟩,∣h12⟩∈H1，任意 ∣ h 2 ⟩ ∈ H 2 |h_2\rangle\in H_2 ∣h2⟩∈H2，都有
( ∣ h 1 1 ⟩ + ∣ h 1 2 ⟩ ) ⊗ ∣ h 2 ⟩ = h 1 1 ⟩ ⊗ ∣ h 2 ⟩ + ∣ h 1 2 ⟩ ⊗ ∣ h 2 ⟩ (|h_1^1\rangle+|h_1^2\rangle)\otimes|h_2\rangle=h_1^1\rangle\otimes|h_2\rangle+|h_1^2\rangle\otimes|h_2\rangle (∣h11⟩+∣h12⟩)⊗∣h2⟩=h11⟩⊗∣h2⟩+∣h12⟩⊗∣h2⟩
对于任意 ∣ h 1 ⟩ ∈ H 1 |h_1\rangle\in H_1 ∣h1⟩∈H1，任意 ∣ h 2 1 ⟩ , ∣ h 2 2 ⟩ ∈ H 2 |h_2^1\rangle,|h_2^2\rangle\in H_2 ∣h21⟩,∣h22⟩∈H2，都有
∣ h 1 ⟩ ⊗ ( ∣ h 2 1 ⟩ + ∣ h 2 2 ⟩ ) = h 1 ⟩ ⊗ ∣ h 2 1 ⟩ + ∣ h 1 ⟩ ⊗ ∣ h 2 2 ⟩ |h_1\rangle\otimes(|h_2^1\rangle+|h_2^2\rangle)=h_1\rangle\otimes|h_2^1\rangle+|h_1\rangle\otimes|h_2^2\rangle ∣h1⟩⊗(∣h21⟩+∣h22⟩)=h1⟩⊗∣h21⟩+∣h1⟩⊗∣h22⟩

复合系统的状态演化

（未完待续）