《算法竞赛进阶指南》打卡-基本算法-AcWing 96. 奇怪的汉诺塔：递推

2024-05-10 08:46:54

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来源：acwing

分析：

本题的汉诺塔问题是n个盘子4个塔，最基本的汉诺塔是n个盘子3个塔。本题是要在后者的基础上来做。

设d[i]表示i盘3塔问题的最小移动步数
递推公式是：d[i]=2×d[i−1]+1d[i] = 2 \times d[i -1] + 1d[i]=2×d[i−1]+1
解释：共有A、B、C3个塔，把前i-1个盘子从A塔移动到B塔，然后A塔剩余的最后一个盘子移到C塔，最后把B塔的i-1个盘子移到C盘。

对于本题呢？

设f[i]表示i盘4塔问题的最小移动步数
递推公式是：f[i]=min(f[i],2×f[j]+d[i−j])f[i] = min{(f[i], \ 2 \times f[j] + d[ i - j])}f[i]=min(f[i], 2×f[j]+d[i−j])

解释：共有A、B、C、D4个塔，初始化f[1] = 1, 表示 1个盘子从A移到D只需要1步。
具体过程：先把j个盘子从A塔移到B塔（这是在4塔问题），然后把 i - j个盘子移到D塔（这是在3塔问题，因为B塔被用了），然后再把B塔上的j个盘子移到D塔（这是在4塔问题）。当然，所有情况取最小值。

ac代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 15 ;
int d[N],f[N];
int main(){// 先处理 只有3个塔的情况d[1] = 1; //初始化:1个盘子移到终点for(int i = 2; i <= 12; i ++){d[i] = 2* d[i -1] + 1;}// 处理4个塔的情况memset(f, 0x3f, sizeof f);f[1] = 1;  // 1个盘子移到终点// 把j个盘子放到一边// 把剩余的 i -j个盘子放到终点// 再把j个盘子放到终点for(int i = 2; i <= 12; i ++)for(int j = 1;  j <= i; j++)f[i] = min( f[i], 2* f[j] + d[i - j]);for(int i = 1; i<= 12; i ++) cout << f[i] << endl;
}

题目链接

https://www.acwing.com/problem/content/98/

参考题解
https://www.acwing.com/solution/content/2473/

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