傅立叶变换

傅立叶变换是一种常见的分析方法，傅立叶变换将满足一定条件的函数表示为一些函数的加权和（或者积分）。可以分为四个类别：
1. 非周期连续性信号
对应于傅里叶变换，频域连续非周期
2. 周期性连续性信号
对应于傅立叶级数，频域离散非周期
3. 非周期离散信号
对应于DTFT（离散时间傅立叶变换），频域连续周期
4. 周期性离散信号
对应于DFT（离散时间傅立叶变换），频域离散周期

傅立叶级数

首先从傅立叶级数开始分析，傅立叶级数是将一个信号在一组正交基上进行分解的体现。

x(t)=∑k=−∞+∞akejkω0tx(t)=∑k=−∞+∞akejkω0t

x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}e^{jk\omega_{0}t}

ak=1T∫T/2−T/2x(t)e−jkω0tdtak=1T∫−T/2T/2x(t)e−jkω0tdt

a_{k} = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jk\omega_{0}t}dt

连续时间傅立叶变换

ω0=2πTω0=2πT\omega_{0} = \frac{2\pi}{T}，当T→∞T→∞T\to\infty时，ω0→0ω0→0\omega_{0}\to 0；
令X(jω)X(jω)X(j\omega)是TakTakTa_{k}的包络，用kω0→ωkω0→ωk\omega_{0}\to\omega，推出：
正变换：

X(jω)=∫+∞−∞x(t)e−jkω0tdtX(jω)=∫−∞+∞x(t)e−jkω0tdt

X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-jk\omega_{0}t}dt
其中 akaka_{k}是 X(jω)X(jω)X(j\omega)的等距离采样， ak=1TX(jkω0)ak=1TX(jkω0)a_{k} = \frac{1}{T}X(jk\omega_{0})
所以当 T→∞T→∞T\to\infty时， ω0→0ω0→0\omega_{0}\to 0，可以推出：
x(t)=∑akejkω0t=∑1TX(jkω0)ejkω0t=∑12πX(jkω0)ejkω0tω0x(t)=∑akejkω0t=∑1TX(jkω0)ejkω0t=∑12πX(jkω0)ejkω0tω0x(t) = \sum a_{k}e^{jk\omega_{0}t} = \sum \frac{1}{T}X(jk\omega_{0})e^{jk\omega_{0}t} = \sum \frac{1}{2\pi}X(jk\omega_{0})e^{jk\omega_{0}t}\omega_{0}
极限时转变为积分：
逆变换：

x(t)=12π∫+∞−∞X(jω)ejωtdωx(t)=12π∫−∞+∞X(jω)ejωtdω

x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega

离散时间傅立叶变换

离散时间傅立叶变换在频域上是连续的，但由于计算机无法表示无限长的时间片段，已经无法表示全部频率，一般取一定频域的分量。
正变换：

X(ejω)=∑n=−∞+∞x[n]e−jωnX(ejω)=∑n=−∞+∞x[n]e−jωn

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}
逆变换：

x[n]=12π∫2πX(ejω)ejωndωx[n]=12π∫2πX(ejω)ejωndω

x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi}^{}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega

离散傅立叶变换

只有离散傅立叶变换在频域和时域都是离散的，即计算机可以处理的，因此DFT是可以实际进行编程并实用的。DFT的信号首先要进行截断，因为能处理的信号必须是有限的；然后对信号进行采样，对频谱进行离散化。
正变换：

X(k)=∑n=0N−1x(n)e−j2πNnkX(k)=∑n=0N−1x(n)e−j2πNnk

X(k) = \sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}
逆变换：

x(n)=1N∑k=0N−1X(k)ej2πNnkx(n)=1N∑k=0N−1X(k)ej2πNnk

x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}nk}

二维傅立叶变换

F(u,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−j2π(ux/M+vy/N)F(u,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−j2π(ux/M+vy/N)

F(u,v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(ux/M+vy/N)}

f(x,y)=1MN∑x=0M−1∑y=0N−1F(u,v)ej2π(ux/M+vy/N)f(x,y)=1MN∑x=0M−1∑y=0N−1F(u,v)ej2π(ux/M+vy/N)

f(x,y) = \frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi(ux/M+vy/N)}