POJ - 3613 Cow Relays(Floyd思想+矩阵快速幂+动态规划)

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题目大意：给定一张由T(T<=100)条边构成的无向图，点的编号为1~1000,之间的整数，求从起点S到终点E恰好经过N(N<=1e6)条边(可重复经过)的最短路

题目分析：虽然点的编号在1e3以内，却只有100条边，我们可以离散化，这样最多只需要一个200*200的邻接矩阵就可以维护了，离散化后我们考虑maze储存了邻接矩阵，则dp[i][j]=min(maze[i][k]+maze[k][j])，dp[i][j]表示的是点i和点j经过了一条边的最短路，这样我们可以将整个数组上升至三维空间，dp[k][i][j]代表的是点i到点j经过了k个点后的最短路，转移方程为：

dp[k][i][j]=min(dp[x][i][t]+dp[k-x][t][j]) (t为连接点i和点j的中间点)

这样一来就可以用矩阵快速幂优化了，只不过需要将矩阵乘法改成取加法运算，矩阵加法改成取min运算，每次都由第k-1层转移到第k层，最后答案就是dp[k][st][ed]了，因为每次的空间都可以滚动使用，所以第一维的k并不需要真实体现出来，这只是一种思维的体现，实际实现的过程中完全可以省略掉

最后注意一下每条边的输入格式是w u v，太恶心人了吧？调了一个小时

代码：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<climits>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<queue>
#include<list>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<sstream>
using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=210;struct Edge
{int u,v,w;void input(){scanf("%d%d%d",&w,&u,&v);//注意输入格式}
}edge[N];int n;vector<int>v;//离散化用 int get_id(int x)//获得离散化后的映射
{return lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin();
}struct Ma
{int a[N][N];Ma(){memset(a,inf,sizeof(a));}friend Ma operator*(const Ma& a,const Ma& b){Ma ans;for(int i=0;i<v.size();i++)for(int j=0;j<v.size();j++){ans.a[i][j]=inf;for(int k=0;k<v.size();k++)ans.a[i][j]=min(ans.a[i][j],a.a[i][k]+b.a[k][j]);}return ans;}
};Ma q_pow(Ma a,int b)
{Ma ans=a;while(b){if(b&1)ans=ans*a;a=a*a;b>>=1;}return ans;
}int main()
{
//  freopen("input.txt","r",stdin);
//  ios::sync_with_stdio(false);int k,n,st,ed;scanf("%d%d%d%d",&k,&n,&st,&ed);Ma ans;for(int i=1;i<=n;i++){edge[i].input();v.push_back(edge[i].u);v.push_back(edge[i].v);}sort(v.begin(),v.end());v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end());for(int i=1;i<=n;i++){int x=get_id(edge[i].u);int y=get_id(edge[i].v);int w=edge[i].w;ans.a[x][y]=ans.a[y][x]=w;}ans=q_pow(ans,k-1);printf("%d\n",ans.a[get_id(st)][get_id(ed)]);return 0;
}

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