矩阵快速幂+动态规划=蓝桥杯垒骰子

如果还不知道什么是矩阵快速幂，可以参加我的另一篇文章：矩阵快速幂详解

题目

分析

看到 nnn 的范围达到了 10910^{9}109 ，如果使用暴力搜索是不现实的。

我们看看是否可以利用动态规划解决问题呢？

首先定义我们 dpdpdp 数组的含义：

dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j] 为第 iii 个骰子， jjj 面朝上时的组合数。

列出 base case：

只有一个骰子时，jjj 面朝上时，有四种方式。因为骰子有四个侧面，可以选择任意侧面。

即：dp[1][1]=dp[1][2]=...=dp[1][6]=4dp[1][1] = dp[1][2] = ... =dp[1][6]=4dp[1][1]=dp[1][2]=...=dp[1][6]=4

状态转移方程：

如果没有排斥面，则对于第 iii 个骰子， jjj 面朝上时，第 i−1i-1i−1 个骰子任意面朝上都可以，则方案数为

dp[i][j]=(dp[i−1][1]+dp[i−1][2]+...dp[i−1][6])∗4dp[i][j] = (dp[i-1][1] + dp[i-1][2] + ...dp[i-1][6])*4dp[i][j]=(dp[i−1][1]+dp[i−1][2]+...dp[i−1][6])∗4

由示例 111 面和 222 面相排斥，则

dp[i][4]=(dp[i−1][1]+dp[i−1][3]+...+dp[i−1][6])∗4dp[i][4]=(dp[i-1][1] + dp[i-1][3] +...+dp[i-1][6]) * 4dp[i][4]=(dp[i−1][1]+dp[i−1][3]+...+dp[i−1][6])∗4 （444 的对面才为 111）

dp[i][5]=(dp[i−1][2]+dp[i−1][3]+...+dp[i−1][6])∗4dp[i][5]=(dp[i-1][2]+dp[i-1][3]+...+dp[i-1][6]) * 4dp[i][5]=(dp[i−1][2]+dp[i−1][3]+...+dp[i−1][6])∗4 （555 的对面才为 222）

则可知对于第 iii 个骰子， jjj 面朝上时的方案数为，第 i−1i-1i−1 个骰子与 jjj 对面不排斥的面的方案数之和乘 444

再分析

我们已经推导出动态规划的解决方案，可是对于 10910^9109 的数据量，此方案还是无能为力，尽管似乎足够好了。

这时我们就需要引入矩阵快速幂将 O(n)O(n)O(n) 的时间复杂度降为 O(log⁡(n))O(\log(n))O(log(n))

对于示例我们可以得到如下矩阵表达式

注意标为红色的 000 ，是因为 444 和 555 的对面分别为 111 和 222 ，而 111 和 222 相互排斥。

递推得

由此我们只需求出矩阵 AAA 的 n−1n-1n−1 次方，而利用矩阵快速幂我们即可在 O(log⁡(n))O(\log(n))O(log(n)) 的时间得到结果。

代码

import java.util.Scanner;public class Main {static int n, m, mod = (int) (1e9 + 7);// oppo[j] 为 j 面的对面static int[] oppo = {0, 4, 5, 6, 1, 2, 3};static long[][] a = new long[7][7];// 单位矩阵 estatic long[][] e = new long[7][7];// 初始化static {for (int i = 1; i < 7; i++) {e[i][i] = 1;for (int j = 1; j < 7; j++)a[i][j] = 4;}}static long[][] mul(long[][] x, long[][] y) {long[][] res = new long[7][7];for (int i = 1; i < x.length; i++) {for (int j = 1; j < y[0].length; j++) {long t = 0;for (int k = 1; k < x[0].length; k++) {t = (t + x[i][k] * y[k][j]) % mod;}res[i][j] = t;}}return res;}static long[][] pow(long[][] x, long n) {if (n == 0) return e;long[][] res = pow(mul(x, x), n / 2);if ((n & 1) != 0) res = mul(x, res);return res;}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);n = sc.nextInt();m = sc.nextInt();for (int i = 0; i < m; i++) {int x = sc.nextInt();int y = sc.nextInt();// 将排斥的面赋值为 0a[oppo[x]][y] = a[oppo[y]][x] = 0;}long[][] b = {{0, 0}, {0, 4}, {0, 4}, {0, 4}, {0, 4}, {0, 4}, {0, 4}};long[][] t = mul(pow(a, n - 1), b);long ans = 0;for (int i = 1; i < 7; i++)ans = (ans + t[i][1]) % mod;System.out.println(ans);}
}