2021牛客多校5 - Double Strings(dp+组合数学)

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题目大意：给出两个字符串 sss 和 ttt，要求 “一段相同的前缀” + “一个不同的字符(满足s[i]<t[j])”+ “长度相同的任意后缀” 的组成方案数，其中可以选取 sss 和 ttt 的子序列用于构成

题目分析：类比于最长公共子序列，这里将 dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j] 定义为，由字符串 s[1:i]s[1:i]s[1:i] 和 t[1:j]t[1:j]t[1:j] 组成的相同前缀的个数，其实也就是方案数，转移的话 dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i][j−1]−dp[i−1][j−1]dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1]dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i][j−1]−dp[i−1][j−1]，当 s[i]=t[j]s[i]=t[j]s[i]=t[j] 时还要加上 dp[i−1][j−1]+1dp[i-1][j-1]+1dp[i−1][j−1]+1，这些类比于 lcslcslcs 的求解过程很容易想到

这个题的瓶颈就是如何去求 “长度相同的任意后缀”，假设 last[x][y]last[x][y]last[x][y] 的意义是，长度为 xxx 的字符串和长度为 yyy 的字符串，组成 “长度相同的任意后缀” 的方案数。不妨设 x<=yx<=yx<=y，那么按照长度枚举展开就是 C(x,1)∗C(y,1)+C(x,2)∗C(y,2)+...+C(x,x)∗C(y,x)=∑k=1xC(x,k)∗C(y,k)C(x,1)*C(y,1)+C(x,2)*C(y,2)+...+C(x,x)*C(y,x)=\sum\limits_{k=1}^{x}C(x,k)*C(y,k)C(x,1)∗C(y,1)+C(x,2)∗C(y,2)+...+C(x,x)∗C(y,x)=k=1∑xC(x,k)∗C(y,k)，这里根据 C(n,m)=C(n,n−m)C(n,m)=C(n,n-m)C(n,m)=C(n,n−m) 做一下转换，即 ∑k=1xC(x,k)∗C(y,k)=∑k=1xC(x,x−k)∗C(y,k)\sum\limits_{k=1}^{x}C(x,k)*C(y,k)=\sum\limits_{k=1}^{x}C(x,x-k)*C(y,k)k=1∑xC(x,k)∗C(y,k)=k=1∑xC(x,x−k)∗C(y,k)，根据范德蒙德卷积公式推得原式等于 C(x+y,x)C(x+y,x)C(x+y,x)

如此一来，预处理出上述的 dpdpdp 和 lastlastlast 数组，就可以去枚举中间的断点，也就是 “一个不同的字符(满足s[i]<t[j])” ，然后根据乘法原理计算贡献了

代码：

// Problem: Double Strings
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11256/D
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 4000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=5e3+100;
const int M=1e6+100;
const int mod=1e9+7;
char s[N],t[N];
int dp[N][N];
int fac[M],inv[M];
int q_pow(int a,int b) {int ans=1;while(b) {if(b&1) {ans=1LL*ans*a%mod;}a=1LL*a*a%mod;b>>=1;}return ans;
}
int C(int n,int m) {if(n<m) {return 0;}return 1LL*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
void init() {fac[0]=1;for(int i=1;i<M;i++) {fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%mod;}inv[M-1]=q_pow(fac[M-1],mod-2);for(int i=M-2;i>=0;i--) {inv[i]=1LL*inv[i+1]*(i+1)%mod;}
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);init();scanf("%s%s",s+1,t+1);int n=strlen(s+1),m=strlen(t+1);for(int i=1;i<=n;i++) {for(int j=1;j<=m;j++) {dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1])%mod;if(s[i]==t[j]) {dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j-1]+1)%mod;}dp[i][j]=(dp[i][j]+mod)%mod;}}LL ans=0;for(int i=1;i<=n;i++) {for(int j=1;j<=m;j++) {if(s[i]<t[j]) {ans=(ans+1LL*(dp[i-1][j-1]+1)*C(n-i+m-j,n-i))%mod;}}}cout<<ans<<endl;return 0;
}

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