公式说明

其中大写如果没加绝对值符号均为向量。
　　　求三角形内心时会用到公式:aOA+bOB+cOC = 0 其中各点如图所示

证明过程

充分性证明
　　　已知aOA+bOB+cOC = 0，证明Ｏ点为内接圆圆心。首先我们知道内接圆圆心为三个角的角平分线交点，只要证明Ｏ是三条角平分线交点就行了。
　　　假设过A和Ｏ的直线交BC于Ｄ。如图
　　　
　　　由图可知向量OB = OD+DB, 向量OC = OD+DC。带入已知的式子后的到aOA+b(OD+DB)+c(OD+DC) = 0。
　　　已知向量OD与OA共线，假设向量ＯＡ = kOD，上面的式子化为了，(a+bk+ck)OA+bDB+cDC = 0。
　　　根据图片已知向量DB与DC共线，并且向量OA＋（DB+DC）的和向量一定不得０，且OA不等于０向量，所以得出(a+bk+ck)=0且bDB+cDC=0。
　　　又由于DB与DC共线，所以上面的出的结论可以直接写为,|DB|/|DC| = c/b　　这正好符合角分线定理，所以AD为角Ａ的一条角分线，同理可证明另外两条为另外两个角的角平分线，因此点O为内接圆圆心。

充分性证明：
　　　
　　　
　　　现在我们已知O为三角形内心，并且三条线均为角平分线，我们需要证明公式aOA+bOB+cOC = 0。
　　　根据角平分线定理我们知道b/a = |AF|/|FB|　和　c/a = |AE|/|EC|
　　　又根据图容易得到，向量OA = OM+ON 进而得到　OA = (|OM|/|CO|)*CO+(|ON|/|BO|)*DO。又易得|OM|/|CO| = |AE|/|EC|, |ON|/|BO| = |AF|/|FB|，带入后得到　OA = b/a CO + c/a BO，整理后就得到了已知的式子。

补充

可能有人不懂上面为什么|OM|/|CO| = |AE|/|FC|，这里讲一下
　　　上面的图取出来后就是如下图
　　　

在O点做ＯＱ交MA于Ｑ且平行于CA

这样就容易看出来三角形COE和三角形OMQ相似，所以就能得到|OM|/|CO| = |AE|/|EC|

计算几何（证明三角形内心公式: aOA+bOB+cOC = 0）相关推荐

【公式编辑测试】解析几何-三角形外心重心垂心内心公式
文章目录三角形重心GGG 向量直角坐标三角形外心OOO 向量直角坐标三角形垂心HHH 向量直角坐标三角形内心III 向量直角坐标坐标原点 ooo,三角形外心 OOO,重心 GGG,垂 ...
证明三角形中重心坐标公式
欢迎关注更多精彩关注我,学习常用算法与数据结构,一题多解,降维打击. 三角形重心坐标公式描述在三维空间中 △P1P2P3的面积为A,P为△P1P2P3内一点\triangle P_1P_2P_3 ...
编程三角形面积公式_三角形面积公式110式（英文版）
点击上面蓝色文字关注杨志明数学角精华博览8年新课标I.5年新课标II.4年新课标III高考数学真题详细解析16年新课标I.9年新课标II.4年新课标III高考数学真题分类详解2020年高考数学重要专题 ...
c#编写三角形面积公式_三角形的面积公式二叙
在上一篇文章中,我们主要介绍了一些基础的常用面积公式,并简单说明了外接圆和内切圆,本文会介绍另外一种与三角形相关的圆--旁切圆,它是由两个角的外角平分线和另外一个角的平分线交于一点而得到的,并结合内切 ...
c#中计算三角形面积公式_【面积系列专题】三角形面积公式之水平宽铅垂高
点击上方蓝字关注我们 [面积系列专题] 三角形面积公式之水平宽铅垂高 TSQ中学数学微信:TSQmaths 一.本文说明三角形的面积公式计算较多,而在平面直角坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面 ...
编程三角形面积公式_利用边长计算三角形面积 — 海伦公式推导
> 之前在计算三角形面积时使用了海伦公式 (p为周长的一半) 但对于如何推导出该公式,当时并不了解.现在推导一下. 假设一个普通三角形三边长分别为a.b.c,c边的高为h: 根据勾股定理,我们 ...
坐标系中求三角形面积的三种方法(鞋带公式、海伦公式、三角形面积公式)
力扣每日一题: 力扣https://leetcode.cn/problems/largest-triangle-area/ 一.鞋带公式 1.1 鞋带公式定义 Shoelace公式,也叫高斯面积公式, ...
直线相交以及三角形面积公式
一条直线(x1,y1) (x2,y2) 另一条直线(x3,y3) (x4,y4) (y1 - y2)x - (x1 - x2)y = (y1 - y2)x1 - (x1 - x2)y1 (y3 - y ...
c#中计算三角形面积公式_三角形面积公式！你到底知道几个？
微信公众号"中学数学教与学"教师群公告微信QQ教师群入群方式及介绍高中数学教与学★教师QQ群[324623715] 初中数学教与学★教师QQ群[460287009] 中学数学教 ...

计算几何（证明三角形内心公式: aOA+bOB+cOC = 0）

公式说明

证明过程

补充

计算几何（证明三角形内心公式: aOA+bOB+cOC = 0）相关推荐

最新文章

热门文章