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三角形重心坐标公式描述

在三维空间中

△P1P2P3的面积为A,P为△P1P2P3内一点\triangle P_1P_2P_3 的面积为A, \\ P为\triangle P_1P_2P_3内一点△P1P2P3的面积为A,P为△P1P2P3内一点

△P1P2P的面积为A3\triangle P_1P_2P 的面积为A_3△P1P2P的面积为A3

△P1PP3的面积为A2\triangle P_1PP_3 的面积为A_2△P1PP3的面积为A2

△PP2P3的面积为A1\triangle PP_2P_3 的面积为A_1△PP2P3的面积为A1

重心坐标公式如下

P=∑i=13AiAPi=A1AP1+A2AP2+A3AP3……（1）P=\displaystyle \sum_{i=1}^ 3 \frac {A_i}{A}P_i = \frac {A_1}{A}P_1+\frac {A_2}{A}P_2+\frac {A_3}{A}P_3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ……（1）P=i=1∑3AAiPi=AA1P1+AA2P2+AA3P3 ……（1）

证明式子（1）。

问题转化

由于三角形内所有点都是在同一个平面，则对三角形进行任意刚性变换不影响上述性质。所以我们可以做以下2个变换。

（1）将三角形转化到二维平面，即所有点的z坐标为0，这样可以忽略z坐标，只考虑xy坐标。
（2）假设P1＝（0，0），这样我们可以利用向量叉积作面积的计算。
（3）由于计算面积都要除以2，我们将（1）式转化成下面的式子（两边同时乘以2A）。
2A⋅P=2A1P1+2A2P2+2A3P3…………（2）2A \cdot P = 2{A_1}P_1+ 2{A_2}P_2+2{A_3}P_3 …………（2）2A⋅P=2A1P1+2A2P2+2A3P3…………（2）
问题转化成在二维坐标系中，以P1为原点（2）正确性证明。

证明

对各点坐标进行定义
P=(Px,Py),P1=(P1x,P1y),P2=(P2x,P2y),P3=(P3x,P3y)P=(P_x, P_y), P_1=(P_{1x}, P_{1y}), P_2=(P_{2x}, P_{2y}),P_3=(P_{3x}, P_{3y})P=(Px,Py),P1=(P1x,P1y),P2=(P2x,P2y),P3=(P3x,P3y)

有了以上的转化和定义，我们可以利用叉乘计算所有面积

2A=P2×P3=P2x⋅P3y−P2y⋅P3x2A=P_2\times P_3 = P_{2x}\cdot P_{3y}- P_{2y}\cdot P_{3x}2A=P2×P3=P2x⋅P3y−P2y⋅P3x

2A2=P×P3=Px⋅P3y−Py⋅P3x2A_2=P\times P_3 = P_{x}\cdot P_{3y}- P_{y}\cdot P_{3x}2A2=P×P3=Px⋅P3y−Py⋅P3x

2A3=P2×P=P2x⋅Py−P2y⋅Px2A_3=P_2\times P = P_{2x}\cdot P_{y}- P_{2y}\cdot P_{x}2A3=P2×P=P2x⋅Py−P2y⋅Px

2A1=2A−2A2−2A3=P2x⋅P3y−P2y⋅P3x−Px⋅P3y+Py⋅P3x−P2x⋅Py+P2y⋅Px2A_1=2A-2A_2-2A_3=P_{2x}\cdot P_{3y}- P_{2y}\cdot P_{3x}-P_{x}\cdot P_{3y}+ P_{y}\cdot P_{3x} - P_{2x}\cdot P_{y}+ P_{2y}\cdot P_{x}2A1=2A−2A2−2A3=P2x⋅P3y−P2y⋅P3x−Px⋅P3y+Py⋅P3x−P2x⋅Py+P2y⋅Px

将上述面积替换原式(2)

2A1P1+2A2P2+2A3P32{A_1}P_1+ 2{A_2}P_2+2{A_3}P_32A1P1+2A2P2+2A3P3

=(0,0)+(Px⋅P3y−Py⋅P3x)⋅(P2x,P2y)+(P2x⋅Py−P2y⋅Px)⋅(P3x,P3y)=(0,0)+(P_{x}\cdot P_{3y}- P_{y}\cdot P_{3x})\cdot(P_{2x}, P_{2y})+(P_{2x}\cdot P_{y}- P_{2y}\cdot P_{x})\cdot (P_{3x}, P_{3y})=(0,0)+(Px⋅P3y−Py⋅P3x)⋅(P2x,P2y)+(P2x⋅Py−P2y⋅Px)⋅(P3x,P3y)
乘进去，并整理一下顺序
=[(Px⋅P2x⋅P3y−Py⋅P2x⋅P3x+Py⋅P2x⋅P3x−Px⋅P2y⋅P3x),(Px⋅P2y⋅P3y−Py⋅P2y⋅P3x+Py⋅P2x⋅P3y−Px⋅P2y⋅P3y)]=[(P_{x}\cdot P_{2x}\cdot P_{3y}- P_{y}\cdot P_{2x}\cdot P_{3x} + P_{y}\cdot P_{2x}\cdot P_{3x} - P_{x}\cdot P_{2y}\cdot P_{3x}),(P_{x}\cdot P_{2y}\cdot P_{3y}- P_{y}\cdot P_{2y}\cdot P_{3x} + P_{y}\cdot P_{2x}\cdot P_{3y} - P_{x}\cdot P_{2y}\cdot P_{3y})]=[(Px⋅P2x⋅P3y−Py⋅P2x⋅P3x+Py⋅P2x⋅P3x−Px⋅P2y⋅P3x),(Px⋅P2y⋅P3y−Py⋅P2y⋅P3x+Py⋅P2x⋅P3y−Px⋅P2y⋅P3y)]
抵消相同项
=[(Px⋅P2x⋅P3y−Px⋅P2y⋅P3x),(−Py⋅P2y⋅P3x+Py⋅P2x⋅P3y)]=[(P_{x}\cdot P_{2x}\cdot P_{3y} - P_{x}\cdot P_{2y}\cdot P_{3x}), (- P_{y}\cdot P_{2y}\cdot P_{3x} + P_{y}\cdot P_{2x}\cdot P_{3y} )]=[(Px⋅P2x⋅P3y−Px⋅P2y⋅P3x),(−Py⋅P2y⋅P3x+Py⋅P2x⋅P3y)]
提取公因子
=(P2x⋅P3y−P2y⋅P3x)⋅(Px,Py)= (P_{2x}\cdot P_{3y}-P_{2y}\cdot P_{3x})\cdot(P_x,P_y)=(P2x⋅P3y−P2y⋅P3x)⋅(Px,Py)

=2A⋅P=2A\cdot P=2A⋅P

∴(2)式得证，（1）式也得证\therefore (2)式得证，（1）式也得证∴(2)式得证，（1）式也得证

证毕。

本人码农，希望通过自己的分享，让大家更容易学懂计算机知识。

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