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【面积系列专题】

三角形面积公式之水平宽铅垂高

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一、本文说明

三角形的面积公式计算较多，而在平面直角坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅垂高面积公式会更加的方便.

二、基本公式

众所周知，三角形的面积公式为

(不妨称此公式为“底高公式”)，如图1-1及图1-2所示.有趣的是，若是对这两种情况作进一步的思考，则任何一个三角形的面积公式都可以通过直角三角形的面积结合“割补法”推导，具体如下：

当然，上述推导若成立，前提是已知直角二角形的面积为两直角边的乘积的一半，但这不是我要讲的重点.下面我要讲的“宽高公式”的证明方法之一，怡好与上述的过程、思路不谋而合.

三、模型介绍

在平面直角坐标系中，当某个三角形是“斜着”放置的时候，如图1-3所示，若想求其面积，其实很难直接应用上面的“底高公式”，原因就是这个三角形的三条边以及对应的三条高都很难求出来，尤其是高，这就是“斜”的弊端….此时,就需要我们用一些巧妙的方法进行转化，将所求三角形的面积进行“割补”，割补方法多种多样，这里我们专门来研究一种重要的害补ト方法，即“水平宽、铅垂高”模型，筒称“宽高公式”，具体如下:

证法1(借助“割补法”):

类似刚开始“底高公式”的推导方法，利用AD将△ABC分害割成两个三角形的面积之和，如图2-1所示.(像AD这种平行于或垂直于坐标轴的辅助线，尤其是在平面直角坐标系中非常重要，需予以关注，这是一种重要的“化直”思想，笔者威称其为“改斜归正”大法!)

从而问题得证！

证法1中的害补思想与前面三角形“底高公式”的推导如出一辙;而证法2，是借助了“底高公式”结合三角形相似导出，体现了由已知到未知的转化与化归思想. 如图3所示的三角形，即当点a跑到了点C的右侧时，有没有类似的“宽高公式”呢?答案是:当然有

证法1(借助“割补法”):

类似刚开始“底高公式”的推导方法，利用AD将△ABC补成两个三角形的面积之差，如图3-1-1所示，(像AD这种平行于或垂直于坐标轴的辅助线，尤其是在平面直角坐标系中非常重要，需予以关注，这是一种重要的“化直”思想，笔者称其为“改斜归正”大法!)

由上面的证明过程可以看出，图2与图3的证法一致，结论也是一致的，体现数学中几何证明的统一美、和谐美.    至于图4所示的三角形面积，即当点跑到了点B的左侧时，结论及方法也是一模一样，在此不再骜述，同学们可自行探讨，我仅提供两张“无字证明图”，如图4-1及图4-2所示.

四、公式呈现

五、公式应用

【公式应用1——上下垂线】

解析：不妨以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，则点C坐标为(a，0)，点D坐标为(a，a)，

【公式应用2——左右垂线】

说明：本题常见解法有三：

一是连结OP，△ABP的面积＝△AOB面积+△BOP面积－△AOP面积，然后用a的代数式表示，与Rt△ABC的面积相等列方程求解；

二是将点C沿AB翻折到C’位置，则△ABC面积与△ABC’面积相等，若△ABP的面积与Rt△ABC的面积相等，则可得PC’//AB，因此，可以由点A，C坐标先求C’坐标，再根据AB的斜率与点C’坐标求直线PC’的解析式，将点P纵坐标代入，即可求a的值.

三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从A，B，P三点向x轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从A，B，P向y轴作垂线(即左右方向作垂线)，仿公式求解.现解析如下.

解析：过A，B，P三点作y轴的垂线，则OB可以看成公式中的水平宽，而PE可以看成公式中的铅垂高，(不习惯的同学可以将屏幕或头转个90度)由AB的解析式可以得

【公式应用3——内外垂线】

从例2可以看到，三条垂线不一定作向x轴，也可以作向y轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有时根据需要也可以取任意两条直线的宽度，则公式可以变化为：

例3(适合九年级)如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B，C和D(3，0)．

(1)求直线BD和抛物线的解析式．

(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N，B，D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．

(3)在抛物线上是否存在点P，使S_△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

(4)点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q使得

的值最大，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

五、方法总结

反思：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题，尤其是在例3，可以将P点的两种不同的位置分类统一为PE长(绝对值)问题求解，可以有效回避原本点P在BD上方时，几何法要构造高等繁杂作法，使得问题解决简洁而快捷.

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