c#编写三角形面积公式_三角形的面积公式二叙

在上一篇文章中，我们主要介绍了一些基础的常用面积公式，并简单说明了外接圆和内切圆，本文会介绍另外一种与三角形相关的圆——旁切圆，它是由两个角的外角平分线和另外一个角的平分线交于一点而得到的，并结合内切圆，得出与之相关的面积公式，同时会导出一些三角形的边角关系，尤其是三角形中的半角公式。

如上面的三角形旁切圆图所示，圆P为三角形ABC边AC上的旁切圆，其半径为

，三边为a，b，c。在这里，我们约定，

，

分别表示，以BC、AC、AB边上的旁切圆的半径。利用公式五的推导办法，同样将三角形ABC面积分割求解，由图可以看出：

同理，对另外两个旁切圆也有类似的式子，即：

记为公式十一。

公式十一的思路和内切圆分割求面积的思路是一样的，只是旁切圆在三角形外面，就有了减法，也就是有了负号，这个特点在以后的内容中依然会体现，除去负号，发现旁切圆和内切圆的许多性质都是类似的。

利用海伦公式

（公式八）和

，消去(p-a)，(p-b)，(p-c)，p得到：

记为公式十二。

公式十二从形式上直接将三角形的基本元素a、b、c三边与A、B、C三角都消除了，可见，我们之前所说的，由于每一个三角形都有唯一一个确定的内切圆和三个唯一确定的旁切圆，于是这些圆就是三角形的基本属性，因此这些圆的半径

，

与边长和角度一样，都是三角形的基本元素，它们之间可以互相导出。

由公式五和公式十一，变形可以得到：

，

，于是有：

于是我们得到了一个关于三角形内切圆半径和三个旁切圆半径的一个关系式，即：

由公式五和公式十二，将内切圆半径消掉，则有：

记为公式十三。

由公式十一变形可以得到：

，

，由公式五变形得到：

，于是有：

（由公式三得到）

于是我们得到了一个关于三角形的外接圆半径，内切圆半径，旁切圆半径之间的关系式，即：

我们可以从中看出，外接圆、内切圆、旁切圆是能够直接建立联系的，隐藏了它们中间的三角形媒介，这给我们的启发是，当我们发现两个看似不相关的事物时，例如独立的两个圆，但是实际上它们是相互联系的，只是联系的媒介我们没瞧见，这里就是三角形，又或者可以说成是当两个事物已经有了相关的联系时，独立研究它们也许找不出其中的原理，那么我们就可以试着去想想它们之间是否存在一个中间的媒介。

接着我们再回头探讨一下内切圆的性质。

如上面的内切圆图所示，由于内切圆圆心是三条角平分线的交点，于是由角平分线的性质可以得到，AE=AF，BF=BD，CE=CD，从而有：

即

，同理，有a，c两边的式子成立。

于是：

同理：

这组公式被称为三角形的半角公式。

由半角公式可以变形三角形的一组面积公式：

记为公式十四。

由公式十四可以得到：

（利用海伦公式消除）

即：

记为公式十五。

利用三角函数之间的关系，可以推出三角形的正弦和余弦的半角公式，这里我们不证明，直接给出结果。

与公式十五的推导一样，我们可以正弦和余弦的半角公式分别得出另外两个三角形面积公式：

分别记为公式十六、公式十七。

将公式四

带入公式公式十七，消去abc，得：

记为公式十八。

由公式十五、公式十六、公式十八并对比公式五

，可以得到

，

，于是可以将公式十六中的abc和p消除掉，得到：

记为公式十九。

同时也得到了一个边长与内外接圆半径的式子：

。

将

代入公式十五中消去p，便有：

记为公式二十。

与公式六

进行对比，我么可以发现一个等式：

。

总结：本文所推导出的十个面积公式均与三角形的内切圆和旁切圆有关，同时还导出了半角公式，在处理有关内切圆和旁切圆与面积相关的问题上将会特别有用。除此之外，公式二十与前文中的公式四和公式六的形式以及它们所代表的几何意义值得深入探究，这将会在《周长为面积之变化率》一文中详细讲述，这里不再赘述。

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