2020-10-11 LMI线性矩阵不等式的一些知识

线性矩阵不等式的常用引理：

Lemma 1：MMM 是对称阵，那么
λmax⁡(M)≤t⟺M−tI≤0\lambda_{\max }(M) \leq t \Longleftrightarrow M-t I \leq 0 λmax(M)≤t⟺M−tI≤0
Proof. Note that for an arbitrary matrix MMM with an eigenvalue sss and a corresponding eigenvector x,x,x, there holds
(M−tI)x=Mx−tx=(s−t)x(M-t I) x=M x-t x=(s-t) x (M−tI)x=Mx−tx=(s−t)x
This states that for an arbitrary matrix MMM there holds
λ(M−tI)=λ(M)−t\lambda(M-t I)=\lambda(M)-t λ(M−tI)=λ(M)−t
Thus, when MMM is symmetric, we have
λmax⁡(M)≤t⟺λmax⁡(M−tI)≤0⟺M−tI≤0\begin{aligned} \lambda_{\max }(M) \leq t & \Longleftrightarrow \lambda \max (M-t I) \leq 0 \\ & \Longleftrightarrow M-t I \leq 0 \end{aligned} λmax(M)≤t⟺λmax(M−tI)≤0⟺M−tI≤0

Lemma 2：AAA 是具有合适维数的矩阵，ttt 是一个正数，那么
ATA−t2I≤0⟺[−tIAAT−tI]≤0.A^{\mathrm{T}} A-t^{2} I \leq 0 \Longleftrightarrow\left[\begin{array}{cc}-t I & A \\ A^{\mathrm{T}} & -t I\end{array}\right] \leq 0.ATA−t2I≤0⟺[−tIATA−tI]≤0.
Proof: Put
Q=[IA0tI]Q=\left[\begin{array}{ll} I & A \\ 0 & t I \end{array}\right] Q=[I0AtI]
then QQQ is nonsingular since t>0.t>0 .t>0. Note that
QT[−tIAAT−tI]Q=[−tI00t(ATA−t2I)]Q^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{cc} -t I & A \\ A^{\mathrm{T}} & -t I \end{array}\right] Q=\left[\begin{array}{cc} -t I & 0 \\ 0 & t\left(A^{\mathrm{T}} A-t^{2} I\right) \end{array}\right] QT[−tIATA−tI]Q=[−tI00t(ATA−t2I)]
again in view of the fact that t>0,t>0,t>0, it is clearly observed from the above relation that the equivalence in (1.2.4)(1.2 .4)(1.2.4) holds. Based on the above lemma, we can derive the following conclusion.

参考资料：

Matlab LMI(线性矩阵不等式)工具箱中文版介绍及使用教程

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