欧拉phi函数

定义

111~NNN中与NNN互质的数的个数叫欧拉函数，记为φ(N)\varphi(N)φ(N)
对NNN分解质因数N=p1c1∗p1c1∗...∗pkckN=p_1^{c_1}*p_1^{c_1}*...*p_k^{c_k}N=p1c1∗p1c1∗...∗pkck
则有φ(N)=N∗(1−1p1)∗(1−1p2)∗...∗(1−1pk)\varphi(N)=N*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})*...*(1-\frac{1}{p_k})φ(N)=N∗(1−p11)∗(1−p21)∗...∗(1−pk1)
特别的φ(1)=1\varphi(1)=1φ(1)=1

证明

首先显然111~NNN中与NNN互质的数就是
1−N1-N1−N中不与NNN含有相同质因子的数

那么先简单分析NNN只有两个质因子的情况
假设p,qp,qp,q为NNN的质因子
那么111~NNN中p的倍数有Np\frac{N}{p}pN个，q的倍数有Nq\frac{N}{q}qN个
我们自然要筛掉这些数N−Np−NqN-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}N−pN−qN

但是注意到这里面p∗qp*qp∗q的倍数被减了两次
根据容斥原理，当然还要加回来
得N−Np−Nq+NpqN-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}+\frac{N}{pq}N−pN−qN+pqN

对这个式子稍作变换
N−Np−Nq+NpqN-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}+\frac{N}{pq}N−pN−qN+pqN
⇓\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Downarrow ⇓
N∗(1−1p−1q+1pq)N*(1-\frac{1}{p}-\frac{1}{q}+\frac{1}{pq})N∗(1−p1−q1+pq1)
⇓\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Downarrow ⇓
N∗(1−1p)∗(1−1q)N*(1-\frac{1}{p})*(1-\frac{1}{q})N∗(1−p1)∗(1−q1)
只有两个质因数的情况证毕
到这里再用数学归纳法就可以拓展出上述得式子了

实现

根据上述函数定义式
可以得到一个在分解质因数时同时求解单个欧拉函数的方法
时间复杂度为O(N)O(\sqrt{N})O(N)

int phi(int x)
{int res=x;for(int i=2;i*i<=x;++i){if(x%i==0){res=res/i*(i-1);while(x%i==0) x/=i;}}if(x>1) res=res/x*(x-1);return res;
}

当然我们还可以有递推打表的计算
类似埃式筛法
每枚举到一个质数，就更新他的所有倍数的phi值
复杂度约为O(NlogN)O(NlogN)O(NlogN)

void euler(int n)
{for(int i=1;i<=n;++i) phi[i]=i;for(int i=2;i<=n;++i){if(phi[i]==i)//发现一个质数for(int j=i;j<=n;j+=i)//处理("筛")他的倍数phi[j]=phi[j]/i*(i-1);}
}

既然有类似埃式筛的递推方法
那么自然也不会少了线性筛

利用线性筛递推求解phi需要用到欧拉函数的两个性质
1.若有p∣Np\mid Np∣N，且满足p2∣Np^2\mid Np2∣N，则φ(N)=φ(N/p)∗p\varphi(N)=\varphi(N/p)*pφ(N)=φ(N/p)∗p
2.若有p∣Np\mid Np∣N，且一定不满足p2∣Np^2\mid Np2∣N，则φ(N)=φ(N/p)∗(p−1)\varphi(N)=\varphi(N/p)*(p-1)φ(N)=φ(N/p)∗(p−1)
这两条性质会在接下来给出证明

线性筛中每个合数n只会被他的最小质因子p筛一次
于是我们利用这点从φ(N/p)\varphi(N/p)φ(N/p)递推到φ(N)\varphi(N)φ(N)

复杂度为O(N)O(N)O(N)

void Phi(int n)
{phi[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i){if(!vis[i]) prim[++cnt]=i,phi[i]=i-1;for(int j=1;j<=cnt;++j){if(i*prim[j]>n) break;vis[i*prim[j]]=1;if(i%prim[j]==0){ phi[i*prim[j]]=phi[i]*prim[j]; break;}else phi[i*prim[j]]=phi[i]*phi[prim[j]];}}
}

欧拉函数的性质

1.∀N>1\forall N>1∀N>1，111~NNN中与NNN互质的数的和为N∗φ(N)/2N*\varphi(N)/2N∗φ(N)/2

证明

若有x∈[1,N]x\in[1,N]x∈[1,N]且gcd(N,x)=1（即N与x互质）gcd(N,x)=1（即N与x互质）gcd(N,x)=1（即N与x互质）
根据更相减损术有gcd(N,x)=gcd(N,N−x)gcd(N,x)=gcd(N,N-x)gcd(N,x)=gcd(N,N−x)

即111~NNN中与NNN互质的数是成对出现的，对称轴就是N/2N/2N/2
也就是说111~NNN中与NNN互质的数的平均值是N/2N/2N/2
而总和就是N∗φ(N)/2N*\varphi(N)/2N∗φ(N)/2
证毕

2.（1）当a，ba，ba，b互质时，有φ(a∗b)=φ(a)∗φ(b)\varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b)φ(a∗b)=φ(a)∗φ(b)
（2）对NNN分解质因数N=p1c1∗p1c1∗...∗pkckN=p_1^{c_1}*p_1^{c_1}*...*p_k^{c_k}N=p1c1∗p1c1∗...∗pkck，则有φ(N)=∏i=1kφ(pici)\varphi(N)=\prod_{i=1}^k\varphi(p_i^{c_i})φ(N)=∏i=1kφ(pici)

证明

这里的两条性质其实是直接应用了积性函数的性质
什么是积性函数
如果当a，ba，ba，b互质时，有f(a∗b)=f(a)∗f(b)f(a*b)=f(a)*f(b)f(a∗b)=f(a)∗f(b)，则f(x)为积性函数f(x)为积性函数f(x)为积性函数
上述（1）是直接应用了定义
而（2）中将N分解质因数，显然分解的每一项都两两互质
根据积性函数定义也不难得出上述式子

3.（1）若有p∣Np\mid Np∣N，且满足p2∣Np^2\mid Np2∣N，则φ(N)=φ(N/p)∗p\varphi(N)=\varphi(N/p)*pφ(N)=φ(N/p)∗p
（2）若有p∣Np\mid Np∣N，且一定不满足p2∣Np^2\mid Np2∣N，则φ(N)=φ(N/p)∗(p−1)\varphi(N)=\varphi(N/p)*(p-1)φ(N)=φ(N/p)∗(p−1)

证明

上述（1）中"若有p∣Np\mid Np∣N，且满足p2∣Np^2\mid Np2∣N"
说明N和N/p含有相同质因子
我们分析只含有两个质因子p和q的简单情况
φ(N)=N−Np−Nq+Npq\varphi(N)=N-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}+\frac{N}{pq}φ(N)=N−pN−qN+pqN
φ(N/p)=Np−Np2−Npq+Np2q\varphi(N/p)=\frac{N}{p}-\frac{N}{p^2}-\frac{N}{pq}+\frac{N}{p^2q}φ(N/p)=pN−p2N−pqN+p2qN
二者相除商为p
用数学归纳法扩展出k个质因子的情况可以得到相同结果

上述（2）中 “若有p∣Np\mid Np∣N，且一定不满足p2∣Np^2\mid Np2∣N”
说明NNN和N/pN/pN/p一定互质
根据积性函数定义有φ(N)=φ(N/p)∗φ(p)\varphi(N)=\varphi(N/p)*\varphi(p)φ(N)=φ(N/p)∗φ(p)
因为p为素数，所以φ(p)=p−1\varphi(p)=p-1φ(p)=p−1
得φ(N)=φ(N/p)∗(p−1)\varphi(N)=\varphi(N/p)*(p-1)φ(N)=φ(N/p)∗(p−1)
证毕

4.∑d∣nφ(d)=n\sum_{d|n}\varphi(d)=n∑d∣nφ(d)=n

证明

设f(n)=∑d∣nφ(d)=nf(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)=nf(n)=∑d∣nφ(d)=n
若有n，m互质，那么f(nm)=∑d∣nmφ(d)=∑d∣nφ(d)∗∑d∣mφ(d)f(nm)=\sum_{d|nm}\varphi(d)=\sum_{d|n}\varphi(d)*\sum_{d|m}\varphi(d)f(nm)=∑d∣nmφ(d)=∑d∣nφ(d)∗∑d∣mφ(d)
可得f(n)f(n)f(n)为积性函数

对于n的某个质因子f(pk)=∑d∣pkφ(d)=φ(1)+φ(p)+φ(p2)+...+φ(pk)f(p^k)=\sum_{d|p^k}\varphi(d)=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+...+\varphi(p^k)f(pk)=∑d∣pkφ(d)=φ(1)+φ(p)+φ(p2)+...+φ(pk)
由上述3.（1）知该式为一个等比数列+1，公比为p
更具等比数列求和公式得f(pk)=pkf(p^k)=p^kf(pk)=pk

所以f(n)=∏i=1kf(pk)=∏i=1kpk=nf(n)=\prod_{i=1}^{k}f(p^k)=\prod_{i=1}^kp^k=nf(n)=∏i=1kf(pk)=∏i=1kpk=n
证毕

欧拉定理

定理：若正整数a,na,na,n互质，则有aφ(n)≡1(modn)a^{\varphi(n)}\equiv 1(\mod n)aφ(n)≡1(modn)

推论：若正整数a,na,na,n互质，则对于任意正整数b，有ab≡abmodφ(n)(modn)a^b\equiv a^{b\mod \varphi(n)}(\mod n)ab≡abmodφ(n)(modn)

扩展欧拉定理：
a,n∈Za,n\in Za,n∈Z，则aba^bab {ab,b<φ(n)abmodφ(n)+φ(n),b>=φ(n)\left\{\begin{aligned}a^b,b<\varphi(n)\\ a^{b\mod\varphi(n)+\varphi(n) },b>=\varphi(n)\end{aligned}\right.{ab,b<φ(n)abmodφ(n)+φ(n),b>=φ(n)modn\mod nmodn

证明略

应用

给定三个正整数a,m,ba,m,ba,m,b，求abmodma^b\mod mabmodm
1≤a≤109,1≤b≤1020000000,1≤m≤1061≤a≤10^{9},1≤b≤10^{20000000},1≤m≤10^61≤a≤109,1≤b≤1020000000,1≤m≤106

直接套用上述定理

#include<iostream>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long lt;const int maxn=100010;
lt a,m,phi,rem;lt read()
{lt x=0;char ss=getchar();while(ss<'0'||ss>'9') ss=getchar();while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();if(x>=phi) rem=1,x%=phi;}return x;
}lt calc(lt x)
{lt res=x;for(int i=2;i*i<=x;++i){if(x%i==0){res=res/i*(i-1);while(x%i==0) x/=i;}}if(x>1) res=res/x*(x-1);return res;
}lt qpow(lt aa,lt k)
{lt res=1;while(k){if(k&1) res=(res*aa)%m;aa=(aa*aa)%m; k>>=1;}return res;
}int main()
{scanf("%d%d",&a,&m);phi=calc(m);lt b=read();if(rem) b+=phi;printf("%d",qpow(a,b));return 0;
}

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欧拉phi函数—详解

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